Enunciado

Mostre que a Eq. 39-44., que expressa a densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é normalizada, ou seja, que:

∫ 0 ∞ P r d r = 1

Passo 1

A densidade de probabilidade radial para o átomo de hidrogênio é dada por:

P r = 4 r 2 a 2 e - 2 r a

Precisamos mostrar que:

∫ 0 ∞ P r d r = 1

Passo 2

Fazendo a integral da densidade de probabilidade:

∫ 0 ∞ 4 r 2 a 2 e - 2 r a

Usando a Eq. 15 do apêndice E do livro:

∫ 0 ∞ x n e - b x d r = n ! b n + 1

Comparando os termos, x n → r 2 , então n = 2 e e - a x → e - 2 r a , então b = 2 / a . Assim, a integral resulta em:

∫ 0 ∞ 4 r 2 a 2 e - 2 r a = 4 a 3 2 2 / a 3 = 1

E pronto, mostramos que a densidade de probabilidade é normalizada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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