Enunciado

Um determinado tipo de viga de aço de construção pesa 22 libras por pé. Uma nova empresa chega à cidade e o contrata para pendurar sua placa em uma viga deste tipo, de 4,0 m de comprimento. O Projeto prevê que a viga se estende para fora da fachada de tijolos horizontalmente (Figura 12-50). Ela deve ser suportada por um cabo de aço de 5,0 m de comprimento. O cabo é preso a uma extremidade da viga e na fachada, acima do ponto em que a viga está em contato com a parede. Durante um estágio inicial da montagem, a viga não deve ser pregada na parede, mas deve mantida em posição apenas pelo atrito.

  1. Qual é o menor coeficiente de atrito, entre a viga e a parede, para que a viga permaneça em equilíbrio estático?
  2. Qual é, neste caso, a tração no cabo?

Passo 1

Então galera, o que está acontecendo aqui? Nós temos uma barra que deve ser mantida fixa pela parede e pelo cabo.

Dizemos então que a barra deve permanecer em equilíbrio estático. Mas o que isso quer dizer? O corpo está em equilíbrio quando duas condições são satisfeitas:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Agora vamos desenhar esta situação, colocando as forças que atuam sobre esta placa:

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central da nossa placa, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g = m p l a c a . g

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força normal F → N perpendicular à superfície, que neste caso é a nossa parede. E a força de atrito f → s , contrária ao movimento relativo entre a barra e a parede. E podem se relacionar como:

f → s = μ s . F → N

Como temos um cabo suportando a viga, temos uma força de tração (T), puxando nossa viga para cima e formando com a placa um ângulo θ . Como vamos precisar das forças nas direções x e y devemos desmembrar esta força de tração.

Sendo assim,

T → x T = cos ⁡   θ →   T → x = T . cos ⁡   θ

T → y T = sen ⁡   θ →   T → y = T . sen ⁡   θ

Agora ficou fácil ! Só precisamos fazer o somatório das forças e achar o coeficiente de atrito e a tração.

Passo 2

Vamos começar usando a primeira condição. Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Muito bem, agora vamos separar as forças. Na direção x nós temos a força normal e a tração, com sentidos opostos:

∑ F x → = F → N - T → x = 0

F → N = T → x

Substituindo T → x :

F → N = T . cos ⁡   θ

Na direção y, temos a força da gravidade, para baixo, e a força de atrito e a tensão, voltadas para cima:

∑ F y → = f → s + T → y - F → g = 0

Substituindo:

μ s . F → N + T . sen ⁡   θ - m p l a c a . g = 0

Lembrando que a massa da placa pode ser calculada pela multiplicação do seu comprimento (L) e sua densidade linear ( λ ):

μ s . F → N + T . sen ⁡   θ - λ . L . g = 0

Isolando o coeficiente de atito:

μ s = λ . L . g - T . sen ⁡   θ F → N

Substituindo F → N = T . cos ⁡   θ

μ s = λ . L . g - T . sen ⁡   θ T . cos ⁡   θ

μ s = λ . L . g T . cos ⁡   θ - t g θ  

Calma que ainda não acabou ! Agora que achamos o coeficiente de atrito vamos para a tração.

Passo 3

Para achar a equação da tração vamos usar a segunda condição, ∑ τ → = 0 . O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher a lateral esquerda da barra, em contato com a parede, como nosso eixo.

Beleza ! Quando fazemos isso a força de atrito estará na posição r = 0 . A força da gravidade terá r = L 2 , enquanto a tração terá r = L .

Já temos r agora só precisamos saber o sentido de rotação. Por convenção se uma determinada força for capaz de girar o corpo no sentido anti-horário seu sinal será positivo. A força de tração é capaz de girar a barra no sentido anti-horário (+), já a força peso gira no sentido horário (-).

Jogando toda informação na segunda condição:

0 . f → s + L . T → y - L 2 F → g = 0

Substituindo as forças:

L . T . sen ⁡   θ - L 2 λ . L . g = 0

Isolando T:

T = L 2 λ . L . g L sen ⁡   θ

T = λ . L . g 2 . sen ⁡   θ

Substituindo T na equação do coeficiente de atrito:

μ s = λ . L . g λ . L . g 2 . sen ⁡   θ . cos ⁡   θ - t g θ = 2 t g θ - t g θ

μ s = t g θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

A figura formada pelos três componentes é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa vale 5 m e o cateto adjacente, 4 m.

O cálculo do cateto oposto pode ser feito por:

H 2 = C O 2 + C A 2

5 ² = C O ² + 4 ²

C O = 3

Então:

μ s = t g θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = 3 4 = 0,75

Passo 4

Estamos quase lá! Já temos o coeficiente de atrito, agora falta calcularmos a tração. Nós já sabemos sua fórmula:

T = λ . L . g 2 . sen ⁡   θ

Também já temos todos os dados:

g = 9,8   m / s ²

L = 4   m

s e n   θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a = 3 5

λ = 22 l i b r a s p é

Como temos todas as unidades em metros devemos manipular λ :

λ = 22 l i b r a s p é   x 1   k g 2205   l i b r a s x 3,281   p é s 1   m = 0,0327 k g m

Substituindo:

T = λ . L . g 2 . sen ⁡   θ = 0,0327 k g m . 4   m . 9,8   m / s ² 2.3 5 = 1,1   k g . m s 2 = 1,1   k N

Resposta

  1. μ s = 0,75
  2. T = 1,1   k N
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