Enunciado

(a) Determine o ângulo θ entre ligações vizinhas na rede cristalina do silício. Na rede do silício, cada átomo está ligado a quatro outros átomos que formam um tetraedro regular (pirâmide formada por triângulo equilátero), no centro do qual se encontra o átomo considerado. (b). Determine o comprimento da ligação, dado que a distância entre os átomos dos vértices do tetraedro é 388 p m .

Passo 1

Em um cristal de silício, cada átomo ocupa o ponto central C de um tetraedro formado por outros átomos de silício. Como as faces do tetraedro são triângulos equiláteros, a altura desses triângulos é h ' = a 3 / 2 , na qual a é o lado do tetraedro. Vamos chamar de C ' o ponto central de uma das faces. Imagine um segmento de reta partindo do átomo A e terminando no ponto médio de um dos lados. Sabendo que esse segmento é a bissetriz do ângulo de 60 ° do triângulo equilátero, é fácil mostrar que a distância entre o ponto A e o ponto C ' é A C ' = a / 3 . Imagine outro segmento de reta, perpendicular à face que contém o ponto A , partindo do ponto C ' e terminando em outro átomo de silício, que vamos chamar de B . Este segundo segmento de reta é a altura h do tetraedro. De acordo com o teorema de Pitágoras,

h = a 2 - A C ' 2 = a 2 - a 3 2 = a 2 3

Vamos agora definir um sistema de coordenadas. Suponha que o átomo B está no eixo y , no ponto y b = h = a 2 / 3 , e que o átomo A está no eixo x , no ponto x a = A C ' = a / 3 . Nesse caso, o ponto C ' está na origem. O ponto central C do tetraedro está no eixo y , em um ponto y c equidistante de A e B . Como os pontos B e C estão no eixo y , a distância entre C e B é y b - y c . De acordo com o teorema de Pitágoras, a distância entre C e A é x a 2 + y c 2 . Assim,

y b - y c = x a 2 + y c 2 → a 2 3 - y c = a 3 2 + y c 2

O que nos da y c = a 2 6

E agora depois de muito sofrimento, podemos começar nosso problema.

Passo 2

  1. Usando notação de vetores unitários, escrevemos o vetor que liga C e A como
  2. r → a c = x a i ^ + - y c j ^ = a 3 i ^ - a 2 6 j ^

    O vetor que ligam C e B

    r → b c = y c - y c j ^ = a 3 8 j ^

    Assim pela relação de produto escalar onde

    cos ⁡ θ = r → a c ⋅ r → b c r → a c | r → b c | → θ = cos - 1 ⁡ r → a c ⋅ r → b c r → a c | r → b c |

    Assim temos que

    θ = cos - 1 ⁡ - 1 3 =   109,5 º

    Passo 3

  3. O comprimento de ligação que é dado por r → b c é

r → b c = a 3 8 = 388   p m 3 8 = 237,6   p m ≈ 238 p m  

Resposta

  1. θ = 109,5 º
  2. r → b c ≈ 238 p m  
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