Enunciado

Em um dia claro, você vê um avião a jato passar por um ponto na vertical acima da sua cabeça, a partir do tamanho aparente do avião, você conclui que ele está voando a um altura constante h . Você ouve o estrondo sônico em um instante T depois que ele passou pelo ponto situado na vertical acima da sua cabeça. Mostre que, se a velocidade do som v for a mesma em todas as altitudes, a velocidade do avião é dada por

v S = h v h 2 - v 2 T 2

(Sugestão: as identidades trigonométricas serão uteis).

Passo 1

Beleza, sabemos que o estrondo sônico é ouvido depois do avião se deslocar um pouco, que é o tempo do cone formado pelas ondas sonoras chegar no chão, podemos considerar um triangulo retângulo formado pela altura do avião, o deslocamento v s T dele desde quando ele passa na vertical acima da nossa cabeça até o ponto onde o som é ouvido e a hipotenusa do triangulo vai ser a onda sonora.

Com isso, podemos usar o ângulo do cone do estrondo α para escrever a tangente do ângulo:

t g α = h v s T

Passo 2

Como a equação de onda de choque só tem o seno:

s e n α = v v s

Vamos facilitar as coisas e escrever a tangente só como função do seno:

t g α = s e n α c o s α = s e n α 1 - s e n 2 α   = h v s T

Aqui usamos a relação s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1

Passo 3

Substituindo o seno:

v v s 1 - v v s 2   = h v s T

Cortando v S :

h T = v 1 - v v s 2  

Elevando tudo ao quadrado e isolando v s :

v s 2 = v 2 1 - v 2 T 2 / h 2

Tiramos M M C no denominador e colocamos raiz quadrada nos dois lados:

v S 2 = v h h 2 - v 2 T 2

E mostramos o que a questão pediu para a gente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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