Enunciado

O diagrama PV da Figura 18-25 representa 3,00 mol de um gás monatômico ideal. O gás está inicialmente no ponto A. Os caminhos AD e BC representam variações isotérmicas. Se o sistema é conduzido ao ponto C ao longo do caminho ABC, determine:

  1. As temperaturas inicial e final do gás;
  2. O trabalho realizado pelo gás;
  3. O calor absorvido pelo gás.

Passo 1

Falaa! Vamos entender esse enunciado e o diagrama para pegar nossos dados primeiro. Ele diz que temos n = 3   m o l s de um gás monoatômico.

E aí ele já começa a falar do processo pelo qual está passando esse gás. Ele diz que o gás passa pelo caminho ABC. Isso quer dizer que o gás passa apenas pelos processos representados pela reta AB e pela curva BC.

No ponto A , pelo gráfico, vemos que o gás tem V A = 4,01   L de volume e P A = 4   a t m de pressão. De A para B temos uma reta horizontal. Ela indica que o volume mudou, mas a pressão ficou constante.

Ao final desse processo, nosso gás está no ponto B . Nesse ponto ele tem, pelo gráfico P B = 4   a t m . Depois ele passa pela curva BC, que o enunciado diz ser um processo isotérmico. Ou seja, nele a temperatura permanece constante.

E no final desse processo, no ponto C , o gás tem V C = 20   L e P C = 1   a t m .

Aí vamos usar esses dados para responder os itens, tudo bem?

Passo 2

a) Queremos na letra a as temperaturas iniciais e finais, ou seja, a temperatura em A e em C . Basta usarmos a equação de estado dos gases

P V = n R T

Para o ponto A :

P A V A = n R T A

E neste caso, T A é a temperatura inicial do gás. Isolando:

T A = P A V A n R

Substituindo nossos dados, lembrando de converter a pressão para P a e o volume para m 3 porque nossa constante R tem como uma das unidades o joule:

T A = 4   a t m   × 101325   P a a t m 4,01   L   × 10 - 3 m 3 L 3   m o l s . ( 8,314 J m o l . K ) = 65,2   K

E o ponto final do processo será C, então a temperatura final será T C . Calculada do mesmo jeito, só mudando os dados

T C = P C V C n R

T C = 1   a t m   × 101325   P a a t m 20   L   × 10 - 3 m 3 L 3   m o l s . ( 8,314 J m o l . K ) = 81,2   K

Finalizamos uma, bora pra próxima!

Passo 3

b) Na letra b queremos saber o trabalho total realizado pelo gás. O trabalho total será a soma dos trabalhos realizados em cada processo, então vamos calcular:

W t o t a l = W A → B + W B → C

No caminho A → B o processo ocorre a pressão constante. Então o trabalho é calculado pela fórmulinha:

W A → B = P . ∆ V = P ( V B - V A )

Não temos V B , mas podemos encontrá-lo pela equação de estado dos gases:

P V = n R T

V B . P B = n R T B

Como o processo de B → C ocorre a temperatura constante, a temperatura em B é igual a temperatura em C , a gente sabe a temperatura em C lá do item a, então vamos ter

T B = T C = 81,2   K

Agora a gente pode usar a fórmulinha

V B . P B = n R T B

Isolando V B e substituindo os dados, lembrando de passar a pressão para P a e o volume para m 3

V B = n R T B P B

V B . 4   a t m × 101325   P a a t m = 3   m o l s . 8,314 J m o l . K ( 81,2   K )

V B = 5   ×   10 - 3 m ³ = 5   L

Passo 4

Substituindo na expressão do trabalho os nossos dados, e lembrando de fazer as conversões para deixar a pressão em P a e o volume em m 3 para nosso resultado sair em joules

W A → B = P . ∆ V = P ( V B - V A )

W A → B = 4   a t m   × 101325   P a a t m . 5 L × 10 - 3 m 3 L - 4,01 L × 10 - 3 m 3 L

W A → B = 0,4   k J

No caminho B → C , temos um processo isotérmico. Neste caso o trabalho é calculado como:

W B → C = n R T . ln ⁡ V c V B

Substituímos:

W B → C = 3   m o l s . 8,314 J m o l . K 81,2   K . ln ⁡ 20   L 5   L

W B → C = 2,8   k J

Repara que a gente não precisou mudar a unidade do volume aqui porque temos dois volumes em uma divisão, aí o resultado da divisão é um valor sem unidade.

Sendo assim, o trabalho total será:

W t o t a l = W A → B + W B → C

W t o t a l = 2,8   k J + 0,4 k J = 3,2   k J

Passo 5

c) Na letra c queremos o calor total absorvido ao longo deste caminho. Pela primeira lei:

∆ E i n t = Q + W s o b r e   o   g á s

Nós acabamos de calcular o trabalho total feito pelo gás e sabemos que se relaciona com o trabalho total sobre o gás da seguinte forma:

W s o b r e   o   g á s = - W p e l o   g á s = - 3,2   k J

Mas ainda não temos a variação da energia total. Mas calma! Também temos uma fórmula para ela:

∆ E i n t = g 2 n R ∆ T

Onde g são os graus de liberdade. Para um gás monoatômico, g = 3 :

∆ E i n t = 3 2 n R ( T c - T A )

Repara que estamos usando a variação entre T C e T A . Ou seja, a gente está calculando a variação total de energia interna entre o ponto inicial A e final C .

Substituindo os dados na fórmula:

∆ E i n t = 3 2 3   m o l s . 8,314 J m o l . K . 81,2   K - 65,2 K = 0,6   k J

Jogando na fórmula da primeira lei:

∆ E i n t = Q + W s o b r e   o   g á s

0,6   k J = Q - 3,2   k J

Q = 3,8   k J  

Repara que a gente não calculou o calor absorvido em cada etapa para depois chegar no total, porque a gente já tinha os dados totais e as temperaturas inicial e final, aí foi mais tranquilo calcular o calor total direto. 😉

Resposta

  1. T A = 65,2   K   e   T C = 81,2   K ;
  2. W t o t a l = 3,2   k J ;
  3. Q = 3,8   k J .  
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