Enunciado

Ar escoa por um duto de área variável. Na seção 1, A 1 = 20   c m ² , p 1 = 300   k P a , ρ 1 = 1,75   k g / m ³ e V 1 = 122,5   m / s . Na seção 2, a área é exatamente a mesma, mas a massa específica é bem menor, ρ 2 = 0,266   k g / m ³ e T 2 = 281   K . Não há transferência de trabalho ou calor. Admita escoamento permanente unidimensional. (a) Como pode você reconciliar essas diferenças? (b) Encontre a vazão em massa na seção 2. Calcule (c) V2, (d) p2 e (e) S2 – S1.

Sugestão: Este problema requer a equação da continuidade.

Passo 1

(a) Uma explicação para variação de densidade de um gás é porque duas coisas aconteceram, ou mudamos a temperatura do sistema ou mudamos a pressão do sistema. Ainda podemos fazer uma variação de temperatura e pressão ao mesmo tempo, já que essas duas variáveis conversam entre si.

Passo 2

(b) Apesar de ser compressível, a equação da continuidade deve ser respeitada. Note que não há acúmulo no nosso sistema e, portanto, temos que a vazão mássica do ponto 2 deve ser exatamente igual a vazão mássica do ponto (1) para que haja conservação de massa!

ρ 1 V 1 A 1 = m ˙ 1 = m ˙ 2 = 1,75 122,5 0,002 = 0,4287 k g s

Passo 3

(c) Sabendo qual é a vazão mássica do ponto 2, fica tranquilo calcularmos qual deve ser a velocidade de escoamento nesse ponto!!

m ˙ 2 = 0,4287 = ρ 2 V 2 A 2 = 0,266 V 2 0,002 → V 2 = 805 ,   92 m s

Passo 4

(d) Aqui precisamos lembrar qual é a fórmula que nos dará a relação do que já nos foi dado no enunciado, mais o que encontramos nos passos anteriores e a pressão. Bem, se você lembrar a densidade tem uma relação direta com a pressão, certo!! E olha pras pressões e temperaturas do nosso problema. Elas são bem amenas, o que indica que a equação de estado para gases ideais é válida.

ρ 2 = p 2 R T 2

Onde R = 287 J/kg.K de acordo com a tabela A.2 do livro, portanto:

p 2 = ρ 2 R T 2 = 0,266   287 281 = 21,452   P a = 21,452   k P a

Note que esse resultado faz MUITO SENTIDO! Porque se você se lembrar lá da nossa equação de Bernoulli que é também uma equação de energia, ela nos dizia que se aumentamos a velocidade de escoamento, necessariamente a pressão tem que diminuir. Inclusive é por causa disso que os aviões voam :D

Passo 5

(e) Bem, ainda para um gás ideal, a relação de variação de entropia é dada por:

Δ S = C p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Para o ar, é de costume associarmos o valor de R sendo igual a 287 J/kg.K e C p = k R k - 1 onde k = 1,4 de acordo também com a tabela A.2 do livro.

Note que o problema não nos deu o valor de T1, mas podemos calcular usando a relação com a densidade!!!

ρ 1 = p 1 R T 1 → T 1 = p 1 ρ 1 R = 300000 1,75 287 = 597,3   K

C P = 1004,5 J k g . K

Δ S = 1004,5 ln ⁡ 281 597 - 287 ln ⁡ 21,452 300 = 0,142 J k g . K

Resposta

(b) m ˙ 2 = 0,4287 k g s

(c) V 2 = 805 m s

(d) p 2 = 21,425   k P a

(e) Δ S = 0,142 J k g . K

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