Enunciado

Os discos de centro A e C rolam sem escorregamento no interior do disco fixo de centro B. Sabendo que o disco A gira com velocidade angular ω = cte., determinar a velocidade e a aceleração do ponto D indicado, situado na periferia do disco C, (CD ┴ AC).

Passo 1

Vamos primeiramente entender o contexto da figura. Nós temos dois discos, um pequeno e um grande. Pensando no disco pequeno, podemos ver que ele está contido pelos pontos D e C, além de apresentar a barra de raio R presente no eixo τ . A partir disso, podemos entender que, em D, a velocidade será uma soma da velocidade em C com a velocidade da barra. A velocidade da barra pode ser encontrada quando pensamos que sua rotação gera uma velocidade angular ωd que depende do raio R. A partir destas considerações, podemos concluir neste primeiro passo, que a velocidade em D pode ser descrita como

v D = v C + R * ω d   τ

Passo 2

Pronto, temos a equação necessária para realizar os cálculos do problema. Agora, vamos definir a velocidade no ponto C. Se observarmos, o ponto C é a extremidade da barra de centro B. Por conta disso, devemos pensar na velocidade deste ponto como elemento da barra de centro B. Se observarmos, a velocidade em C é paralela à velocidade em A, pois, com o movimento, ambos realizarão escorregamentos paralelos. Por conta disso, vamos utilizar a equação de velocidades paralelas em discos, considerando os raios e obtendo:

v C = - 4 3 v A .

Se observarmos a figura, percebemos que vA pode ser calculado de forma semelhante à velocidade da barra no disco pequeno. Ela é regida pela multiplicação do raio pela velocidade angular da barra, levando em consideração que está no sentido negativo do eixo u. Assim, podemos dizer que

v A = - 4 3 R A * ω   ( - u )

Como RA=2R, teremos que:

v A = 4 3 2 R * ω   u

Substituindo em vC, teremos:

v C = 4 3 2 R * ω   u = 8 3 R * ω   u

Pronto, encontramos a velocidade em C levando em consideração que ele é o ponto de extremidade da barra. Mas, não podemos deixar de lado o fato de C ser também o ponto de centro do disco pequeno.

Passo 3

Nós teremos, pensando em C como ponto do disco, que considerar o possível rolamento deste disco. Assim, teremos que a velocidade em C será, neste caso:

v C = R ω d   u

Passo 4

Como encontramos as duas equações para a velocidade em c, podemos igualá-las e chegar na seguinte conclusão:

v C = R ω d   u = 8 3 R * ω   u

ω d   = 8 3 ω  

Passo 5

Após encontrarmos a velocidade em C, o próximo passo é substituir ω d     na equação da velocidade em D. Nós teremos:

v D = 8 3 R * ω   u + R * 8 3 ω   τ

v D = 8 3 ω * R * ( u + τ )

Passo 6

Agora, podemos encontrar a aceleração em C, que, como apresenta movimento circular uniforme no período de rotação, será:

a C = v C 2 4 R - τ = 8 3 ω * R 2 4 R - τ = - 16 9 ω ² * R τ

Passo 7

Por fim, podemos finalmente encontrar a aceleração em D, que, assim como a velocidade em D, depende da aceleração em C e da aceleração sofrida pela barra de raio R. Teremos, então:

a D = a C +   ω D ² * R - u =   - 16 9 ω 2 * R τ - 64 9 ω 2 * R u  

Simplificando, teremos:

a D = - 16 9 ω 2 * R ( 4 u + τ )  

Pronto! Encontramos tudo como desejado.

Resposta

v D = 8 3 ω * R * ( u + τ )

e

a D = - 16 9 ω 2 * R ( 4 u + τ )  

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