Enunciado

A “chave de grifo” representada na figura é usada para fazer girar o tubo de diâmetro 2R indicado, desde que a força, aplicada no cabo CC’ da chave, possa vencer um momento resistente capaz de mantes o tubo em equilíbrio. A chave agarra o tubo nos pontos A e C, diametralmente opostos. A ligação entre as peças BB’ e CC’ é feita pelo pino D. Determine o valor mínimo do coeficiente de atrito μ, entre o tubo e as peças da chave, para que não haja escorregamento nos contatos A e C.

Passo 1

Temos aqui o sistema de um tubo e uma chave e devemos pensar em duas situações: o tubo e a chave separados, analisando cada força que interage nas peças individuais, e o tubo em conjunto com a chave, analisando os dois juntos. Vamos iniciar pensando no conjunto chave e tudo, e no momento presente no ponto D. Neste ponto, temos a força F agindo a uma distancia b. Assim, podemos dizer que:

M D = b * F

Passo 2

Agora, se pensarmos no centro do tubo, vemos que a força que interage ali é a força de atrito, que está sendo aplicada a uma distância de 2R do centro do tubo. Assim, teremos ali o seguinte momento:

M c e n t r o = 2 R * T

Passo 3

Além desses, temos um momento presente no cabo CC’, sendo positivo no sentido anti-horário.

Se analisarmos estes cabos, iremos perceber que as seguintes forças influenciam no momento do mesmo:

- Força T: aplicada a uma distância a do foco do cabo, sendo positiva em relação ao adotado.

- Força N: aplicada a uma distância h do foco do cabo, sendo negativa em relação ao adotado.

- Força F: aplicada a uma distância b do foco do cabo, sendo positiva em relação ao adotado.

Agora, vamos realizar a somatória destas forças:

∑ M C C ' = 0 = T * a + - N * h + F * b

N * h = T * a + F * b

Passo 4

Pensando agora no cabo BB’, teremos as seguintes forças aplicadas nas seguintes distâncias, atuando no momento no sentido anti-horário como positivo:

- Força N: aplicada a uma distância h do foco do cabo, sendo negativa em relação ao adotado.

- Força T: aplicada a uma distância (2R+a) do foco do cabo, sendo positiva em relação ao adotado.

Logo, teremos:

∑ M B B ' = 0 = T * ( 2 R + a ) + - N * h

N * h = T * ( a + 2 R )

N * h ( a + 2 R ) = T

Passo 5

Como o problema quer que não haja escorregamento, vamos pensar que a força de atrito deve ser:

T ≤ μ * N

Substituindo a equação do passo 4, teremos:

N * h ( a + 2 R ) ≤ μ * N

Assim, simplificando, temos:

μ ≥ h a + 2 R

Pronto! Encontramos a equação para o coeficiente de atrito mínimo para que não haja escorregamento em A e C.

Resposta

μ ≥ h a + 2 R

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