Enunciado

Dois alto-falantes, a 2,50   m de distância um do outro, são acionados pelo mesmo oscilador de áudio, de modo que cada um deles produz um som que consiste em duas frequências distintas, 0,900   K H z e 1,20   k H z . A velocidade do som na sala é 344   m / s . Encontre todos os ângulos em relação à linha central entre os dois alto-falantes em que ambas as frequências interferem construtivamente.

Passo 1

O segredo aqui é o seguinte: a interferência construtiva vai acontecer sempre que a diferença de caminho for um número inteiro de comprimentos de onda:

d sen ⁡ θ = m λ

sen ⁡ θ = m λ d

Estamos usando a mesma fórmula que serve para as fendas duplas e estreitas.

O primeiro passo pra poder usar essa fórmula é calcular os comprimentos de onda:

λ 1 = v f 1 = 344 900 ≈ 0,3822   m

λ 2 = v f 2 = 344 1200 ≈ 0,2867   m

Passo 2

Quando as frequências interferirem construtivamente no mesmo ângulo, você pode afirmar o seguinte:

sen ⁡ θ = m λ d

Aplicando essa equação sobre cada um dos alto-falantes e igualando:

m 1 λ 1 d = m 2 λ 2 d

m 1 λ 1 = m 2 λ 2

Substituindo os valores:

m 2 m 1 = 0,3822 0,2867 ≈ 4 3

Ótimo, então sempre que os valores de m obedecerem essa relação, vamos ter o tipo de interferência que o enunciado pediu.

E além disso, temos a solução “trivial”, que é m 1 = m 2 = 0 .

Passo 3

Já que os valores de m 1 e m 2 têm que ser inteiros, vamos listar algumas soluções possíveis (além da trivial):

m 2 m 1 = 4 3

m 1 = 3       ,     m 2 = 4 m 1 = 6     ,     m 2 = 8 m 1 = 9     ,     m 2 = 12 …

Pronto, agora podemos começar a calcular os ângulos:

θ 1 = arcsen ⁡ m 1 λ 1 d

Para m 1 = 0 :

θ 1 = arcsen ⁡ ( 0 ) 0,3822 2,50 = 0 °

Para m 1 = 3 :

θ 1 = arcsen ⁡ ( 3 ) 0,3822 2,50 = 27,3 °

Para m 1 = 6 :

θ 1 = arcsen ⁡ ( 6 ) 0,3822 2,50 = 66,5 °

E quando m 1 = 9 :

θ 1 = arcsen ⁡ ( 9 ) 0,3822 2,50 = arcsen ⁡ 1,38

Aqui já não temos solução, então ficamos com só três respostas: θ 1 = 0 ° , θ 2 = 27,3 ° e θ 3 = 66,5 ° .

Resposta

Os ângulos são θ = 0 ° , 27,3 ° e 66,5 ° .

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