Enunciado

Dois arames são presos à esfera de 2,0   k g mostrada na FIGURA P D 8.60 . A esfera descreve um círculo horizontal com velocidade de módulo constante.

a. Para que valor de velocidade a tensão em ambos os arames é a mesma?

b. Quanto vale esta tensão?

Passo 1

Letra a)

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa aqui! Vamos lá! Na bolinha estão agindo três forças: as duas tensões (associadas aos arames, em vermelho e em azul) e a força gravitacional (em verde), verticalmente para baixo. Note no desenho aqui embaixo que os dois arames e os pontos de fixação na haste formam um triângulo isósceles, então o comprimento L 2 é igual a 1 m .

As forças na vertical são canceladas, pois o sistema não tem movimento nessa direção. Na horizontal temos que a resultante das forças é igual à força centrípeta, pois temos um movimento circular da bolinha. Usando como referência os ângulos do desenho e o eixo de coordenadas (linhas tracejadas com origem na bolinha) temos o seguinte sistema de equações:

T 1 s e n   30 ° + T 2 s e n 60 ° = m v 2 r T 1 c o s 30 ° + T 2 c o s 60 ° = m g

O problema pede o valor da tensão e da velocidade para que as tensões sejam as mesmas, então podemos simplificar esse sistema fazendo T 1 = T 2 = T :

T s e n   30 ° + T s e n 60 ° = m v 2 r T c o s 30 ° + T c o s 60 ° = m g

E assim, da primeira equação temos:

T s e n 30 ° + s e n 60 ° = m v 2 r

E da segunda temos:

T c o s 30 ° + c o s 60 ° = m g

Mas sabemos que s e n 30 ° + s e n 60 ° = c o s 60 ° + c o s 30 ° , então podemos dividir uma equação pela outra:

T s e n 30 ° + s e n 60 ° T c o s 30 ° + c o s 60 ° = m v 2 r m g

E ficamos com:

m v 2 r = m g

v 2 = g r

v = g r = 9,8 ( L 2 c o s 30 ° ) = 9,8 ( 1 . c o s 30 ° ) = 2,9 m / s

Passo 2

Letra b)

Agora com a velocidade, podemos determinar a tensão através da primeira equação:

T s e n 30 ° + s e n 60 ° = m v 2 r

T = m v 2 r s e n 30 ° + s e n 60 ° = m v 2 L 2 c o s 30 ° s e n 30 ° + s e n 60 °

T = 2 2,9 2 ( 1 ) c o s 30 ° s e n 30 ° + s e n 60 ° = 14,3 N

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) 2,9 m / s

b ) 14,3 N

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