Enunciado

Dois blocos, de massas m 1 e m 2 escorregam para baixo sobre um plano inclinado, como mostrado na figura abaixo. Eles estão ligados por um bastão sem massa. Os coeficientes de atrito cinético entre o bloco e a superfície são μ 1 , para o bloco 1 e μ 2 para o bloco 2. (a) Determine a aceleração dos dois blocos. (b) Determine a força que o bastão exerce sobre cada um dos dois blocos. Mostre que estas forças são ambas nulas quando μ 1 = μ 2 e dê um argumento não-matemático simples para que isto seja verdadeiro.

Passo 1

Letra (a)

Os dois blocos vão descer com a mesma aceleração a (por causa do fio). O que a gente vai fazer é usar a segunda lei de Newton quatro vezes: em x e em y, e em cada bloco. Vamos começar com o bloco 1:

∑ F x = T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 F n , 1 = m 1 a             ( 1 )

e

∑ F y = 0 ⇒ F n , 1 = m 1 g c o s θ             ( 2 )

Passo 2

Substitui (2) em (1):

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a

T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ = m 1 a             ( 3 )

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa, só que no bloco 2:

∑ F x = m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 F n , 2 = m 2 a             ( 4 )

e

∑ F y = 0 ⇒ F n , 2 = m 2 g c o s θ             ( 5 )

Passo 4

Substitui (5) em (4):

m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ = m 2 a

m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ = m 2 a             ( 6 )

Passo 5

A gente ainda não quer a tração (isso fica para a letra b), só a aceleração. Então podemos sumir com a tração T somando (3) com (6):

( T + m 1 g s e n θ - μ c , 1 m 1 g c o s θ ) + ( m 2 g s e n θ - T - μ c , 2 m 2 g c o s θ ) = m 1 a + m 2 a

g s e n θ m 1 + m 2 - g c o s θ μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 = a m 1 + m 2

Agora isola o a :

a = g s e n θ m 1 + m 2 m 1 + m 2 - g c o s θ μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2

a = g s e n θ - g μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2 c o s θ

a = g s e n θ - μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2 c o s θ

Passo 6

Letra (b)

Para a gente conseguir o T, a gente pega a equação (3), divide ela por m 1 e obtém a equação (7). Depois pega a equação (6), divide ela por m 2 e obtém a equação (8). Por fim a gente faz (7) – (8), que o a some:

T m 1 + m 1 g s e n θ m 1 - μ c , 1 m 1 g c o s θ m 1 = m 1 a m 1

T m 1 + g s e n θ - μ c , 1 g c o s θ = a             ( 7 )

Agora com (6)

m 2 g s e n θ m 2 - T m 2 - μ c , 2 m 2 g c o s θ m 2 = m 2 a m 2

g s e n θ - T m 2 - μ c , 2 g c o s θ = a             ( 8 )

Passo 7

(7) – (8):

T m 1 + g s e n θ - μ c , 1 g c o s θ - g s e n θ - T m 2 - μ c , 2 g c o s θ = a - a

T 1 m 1 + 1 m 2 - g c o s θ μ c , 1 - μ c , 2 = 0

T 1 m 1 + 1 m 2 = g c o s θ μ c , 1 - μ c , 2

T ∙ m 1 + m 2 m 1 m 2 = g c o s θ μ c , 1 - μ c , 2

T = m 1 m 2 g c o s θ m 1 + m 2 ∙ μ c , 1 - μ c , 2             ( 9 )

Passo 8

Se μ c , 1 = μ c , 2 , a tensão T vai pra 0 (olha a equação (9)). Outra forma de concluir isso é perceber que, se eles têm o mesmo coeficiente de atrito, os blocos descem com a mesma aceleração, então o fio não comprime nem estica, e aí fica com tensão 0.

Resposta

Letra (a): a = g s e n θ - μ c , 1 m 1 + μ c , 2 m 2 m 1 + m 2 c o s θ

Letra (b): ver solução.

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