Enunciado

Dois nuclídeos que são instáveis em relação ao decaimento alfa, o U 238 e o T h 23 2 , e uma que é instável em relação ao decaimento beta, o K 40 , são suficientemente abundantes no granito para contribuírem significativamente para o aquecimento da Terra. Os isótopos que emitem partículas alfa dão origem a cadeis de decaimento que resultam na formação de isótopos estáveis do chumbo. O isótopo K 40 sofre apenas um decaimento beta. Os dados relevantes são os seguintes:

Na tabela, Q é a energia total libreada em uma série de decaimentos até que o nuclídeo final seja estável e f é a abundância do isótopo em quilogramas por quilograma de granito; ppm significa partes por milhão. (a) Mostre que esses isótopos produzem energia à taxa de 1,0 ⋅ 10 - 9   W por quilograma de granito. (b) Supondo que existam 2,7 ⋅ 10 22   k g de granito em uma casa esférica de 20   k m de espessura na superfície da Terra, estime a potência associada a esses processos de decaimento. Compare essa potência com a potência solar recebida pela Terra, 1,7 ⋅ 10 17   W .

Passo 1

O exercício quer que calculemos a taxa de produção de energia devido ao decaimento dos três isótopos. Sabemos que a taxa de produção de energia por decaimento de um determinado isótopo é

P = R ⋅ Q ,

onde R = λ N é a atividade e Q é a energia liberada por decaimento. Assim, considerando os três decaimentos:

d E d t = P U + P T h + P K = λ U N U Q U + λ T h N T h Q T h + λ K N K Q K

Precisamos calcular o número N de isótopos de cada tipo. Para isso, vamos considerar 1   k g de granito:

1   k g   g r a n i t o → 10 6   p p m

m → f   p p m

Assim,

m = f ⋅ 10 - 6   k g

Convertendo para u :

m = f ⋅ 10 - 6   k g ⋅ 1 1,661 ⋅ 10 - 27   k g / u

Assim,

m = f ⋅ 10 21 1,661   u

Basta dividir esse número pela massa molar que encontramos N :

N = m M = f ⋅ 10 21 M ⋅ 1,661

Passo 2

Além disso, sabemos que

λ = ln ⁡ 2 T

Juntando todas as informações, temos que

d E d t = 10 21 ⋅ ln ⁡ 2 1,661 ⋅ f U   Q U M U   T U + f T h   Q T h M T h   T T h + f K   Q K M K   T K

Substituindo os valores:

d E d t = 10 21 ⋅ ln ⁡ 2 1,661   4 ⋅ 51,7   M e V 238 ⋅ 4,47 ⋅ 10 7   a n o s + 13 ⋅ 42 , 7   M e V 23 2 ⋅ 1,41 ⋅ 10 10   a n o s + 4 ⋅ 1,31   M e V 40 ⋅ 1,28 ⋅ 10 9   a n o s

Fazendo as contas com 1   M e V = 10 6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19   J e 1   a n o = 365 ⋅ 24 ⋅ 3600   s :

d E d t = 1,0 ⋅ 10 - 9   W

Passo 3

O que calculamos nos passo dois é a potência devido a 1   k g de granito:

1   k g → 1,0 ⋅ 10 - 9   W

2,7 ⋅ 10 22   k g → x

Assim,

x = 1,0 ⋅ 10 - 9   W ⋅ 2,7 ⋅ 10 22   k g

Portanto,

x = 2,7 ⋅ 10 13   W

Note que esse valor ainda é bem menor que a potência devido ao Sol, que é a maior contribuição para o aquecimento da superfície da Terra!

Resposta

2,7 ⋅ 10 13   W

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