Enunciado

Dois sistemas de pêndulos amortecidos forçados possuem massas, forças externas e constantes de amortecimento idênticas. Porém, o comprimento do sistema A é quatro vezes o comprimento do sistema B. Assuma que ambos são levemente amortecidos. Como as suas frequências de ressonância são comparadas? (a) w A = w B , (b) w A = 2 w B , (c) w A = 1 2 w B , (d)   w A = 1 4 w B . (e) Suas frequências de ressonância não podem ser comparadas pelas informações dadas.

Passo 1

Falaa! Temos dois sistemas de pêndulo separados.

A questão nos pede para relacionar as frequências de ressonância desses dois sistemas de pêndulos e diz que o amortecimento é leve. A expressão para a frequência de ressonância de um sistema de pêndulos forçado nesse caso é

w = g L

Onde g é a gravidade e L é o comprimento do pêndulo. Não considerarmos a constante de amortecimento que ele menciona, pois o amortecimento é leve. E a frequência do pêndulo não depende da massa, então a gente ignora essa informação também hehe

Como queremos relacionar w dos dois sistemas, vamos escrever a expressão de w A para o sistema A e w B para o sistema B :

w A = g L A

w B = g L B

Percebe que a gravidade é a mesma para os dois porque o enunciado diz que eles estão sobre a influência das mesmas forças externas.

A ideia aqui é a gente comparar essas expressões usando os dados do enunciado para achar uma relação entre w A e w B . Bora!

Passo 2

Para compararmos w A e w B , podemos fazer a razão entre suas expressões

w A w B = g L A g L B = g L A g L B

Usamos ali a propriedade de raízes para colocar tudo em uma só raiz.

Passo 3

Lembra que o enunciado diz que o comprimento do sistema A é quatro vezes o comprimento do sistema B, então

L A = 4 L B

Vamos substituir isso na nossa expressão da razão entre w A e w B :

w A w B = g L A g L B

w A w B = g 4 L B g L B

Simplificando

w A w B = 1 4 1 1

w A w B = 1 4 = 1 2

Passando w B para o outro lado:

w A = 1 2 w B

E a letra (c) é a resposta correta.

Resposta

c :   w A = 1 2 w B

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