Exercícios de Movimento Harmônico Amortecido - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 30

Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação diferencial

d 2 x d t 2 + γ d x d t + ω 0 2 x = 0                     ( 1 )

Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativa x t = e r t como solução e encontrar quais valores de r que realmente a tornam solução da equação diferencial (1). Fazendo a substituição de x t = e r t em (1), vemos que os valores de r que tornam a função tentativa solução de (1) são:

r 1 = - γ 2 - γ 2 2 - ω 0 2                               e                                 r 2 = - γ 2 + γ 2 2 - ω 0 2                               ( 2 )

Os valores de r levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicando presnete em r 1 e r 2 seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolha a alternativa correta:

a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ou igual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real real pode ser expressa em termos de funções periódicas, como senos e cossenos.

b) Na situação onde r assume valores complexos, só a parte real de r tem siginificado físico.

c) O caso onde ω 0 > γ / 2 corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemos expressar x t como uma função periódica.

d) Se a frequência natural ω 0 do sistema for muito maior que o fator dissipativo γ / 2 , a amplitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.

e) Quando γ 2 > ω 0 , o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbrio do que quando γ 2 = ω 0 .

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