Duas autofunções possíveis de uma partícula se movendo livremente em uma região de comprimento a , mas estritamente limitada a esta região, estão mostradas na figura 6-37. Quando a partícula estiver no estado correspondente à autofunção ψ I , sua energia total é 4   e V . (a) Qual é sua energia total no estado correspondendo a ψ I I ? (b) Qual é a menor energia total possível que a partícula neste sistema pode ter?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O truque para resolver o problema é sacar que se trata de um poço infinito, cuja energia é dada por

E n = ℏ 2 n 2 2 m a 2

Assim, tomando a razão entre as energias de dois níveis n 1 e n 2 :

E n 1 E n 2 = n 1 2 n 2 2

Além disso, a autofunção correspondente a E n tem n - 1 nós (pontos em que ela se anula). Assim, é fácil identificar n I = 2 para ψ I e n I I = 3 para ψ I I . Portanto,

E I E I I = 2 2 3 3 → 4 E I I = 4 9 → E I I = 9   e V

Passo 2

O estado de mais baixa energia é tal que n = 1 :

E 1 E I = 1 2 2 2 → E 1 4 = 1 4 → E 1 = 1   e V

Resposta

E I I = 9   e V

E 1 = 1   e V

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