a) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula no primeiro estado excitado do sistema considerado.

b) Compare com o produto das incertezas quando a partícula está no estado de menor energia do sistema, obtido no exemplo 5-10. Explique por que os produtos das incertezas são diferentes.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A incerteza da posição é dada por

Δ x = x 2 - - x - 2

Usando os resultados do problema 11:

x - = 0             e           x 2 - = 0,07067   a 2

Assim,

Δ x = 0,07067   a 2 = 0,266   a

Da mesma forma,

Δ p = p 2 - - p - 2

No problema 12, achamos

p - = 0               e           p 2 - = 4 π 2 ℏ 2 a 2

Assim,

Δ p = 4 π 2 ℏ 2 a 2 = 2 π ℏ a

Passo 2

Portanto, o produto das incertezas no primeiro estado excitado é

Δ x   Δ p = 0,266   a ⋅ 2 π ℏ a = 1,67   ℏ

Como 1,67 > 1 / 2 , verificamos que o princípio da incerteza ( Δ x   Δ p ≥   ℏ / 2 ) é respeitado!

Passo 3

Para o estado fundamental (exemplo 5-10 do livro), foi verificado que

Δ x   Δ p f u n d = 0,57   ℏ

Como 0,57 > 1 / 2 , o princípio da incerteza também foi respeitado. Mas vale destacar que os valores dos produtos das incertezas são diferentes para estados diferentes. Mais que isso, observamos que no estado fundamental (de mais baixa energia), o produto das incertezas é menor.

Resposta

Δ x   Δ p = 1,67   ℏ

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