Enunciado

Duas cordas muito longas são amarradas no ponto x   =   0 . Na região x   < 0 , a velocidade da onda é v 1 , enquanto na região x >   0 , a velocidade é v 2 . Uma onda sinusoidal é incidente no nó da esquerda ( x   < 0 ); parte da onda é refletida e parte é transmitida. Para x   < 0 , o deslocamento da onda é descrito por y ( x ,   t ) = A s e n ( k 1 x - ω t ) + B s i n ( k 1 x + ω t ) , enquanto que para x >   0 , y x ,   t = C s e n ( k 2 x - ω t ) ,   onde ω / k 1 = v 1 e ω / k 2 = v 2 . (a) Se assumirmos que a função de onda y e sua primeira derivada espacial ∂ y   /   ∂ x devem ser contínuas em x   =   0 , mostre que C / A = 2 v 2 / ( v 1 + v 2 ) e que B / A = ( v 1 - v 2 )   /   ( v 1 + v 2 ) . (b) Mostre que B 2 + v 1 / v 2 C 2 = A 2

Passo 1

(a) Temos aqui uma questãozinha de demonstração. A gente vai precisar usar muita criatividade e persistência, tá bem? Com isso vamos conseguir!

Bom, precisamos mostrar as duas relações em termos de duas equações de onda diferentes que vamos chamar de y 1 para x < 0 e y 2 para x > 0 .

y 1 ( x ,   t ) = A s e n ( k 1 x - ω t ) + B s e n ( k 1 x + ω t ) ,

y 2 x ,   t = C s e n ( k 2 x - ω t ) ,

Essas duas funções devem ser iguais em x = 0 porque se não fossem, a função seria descontinua, e as cordas não estariam amarradas:

y 1 0 , t = y 2 ( 0 , t )

Que fica:

A s e n ( k 1 0 - ω t ) + B s e n ( k 1 0 + ω t ) = C s e n ( k 2 0 - ω t )

A s e n ( - ω t ) + B s e n ( ω t ) = C s e n ( - ω t )

Como a função seno é ímpar, s e n - x = - s e n x → s e n - ω x = - s e n   ω x , nossa equação fica:

- A s e n ω t + B s e n ω t = - C s e n ( ω t )

Cortando os senos:

A - B = C

Passo 2

Agora fazendo a derivada com relação x das duas equações, aplicando x = 0 e igualando elas (já que o enunciado diz que as derivadas são contínuas nesse ponto, que é o de interseção das cordas):

y 1 ( x ,   t ) = A s e n ( k 1 x - ω t ) + B s e n ( k 1 x + ω t ) ,

∂ y 1 ∂ x = A k 1 cos ⁡ k 1 x - ω t + B k 1 cos ⁡ k 1 + ω t

y 2 x ,   t = C s e n ( k 2 x - ω t ) ,

∂ y 2 ∂ x = C k 2 cos ⁡ k 2 x - ω t

Ficamos com:

∂ y 1 ∂ x x = 0 = ∂ y 2 ∂ x x = 0

A k 1 c o s ( k 1 0 - ω t ) + B k 1 c o s ( k 1 0 + ω t ) = C k 2 c o s ( k 2 0 - ω t )

A k 1 c o s ( - ω t ) + B k 1 c o s ( ω t ) = C k 2 c o s ( - ω t )

Como os cossenos são funções pares cos ⁡ - x = cos ⁡ x → cos ⁡ - ω x = cos ⁡ ω x , ficamos com:

A k 1 c o s ( ω t ) + B k 1 c o s ( ω t ) = C k 2 c o s ( ω t )

Cortando os cossenos:

A k 1 + B k 1 = C k 2

Passo 3

Temos essas duas relações

A - B = C

A k 1 + B k 1 = C k 2

Vamos deixar elas mais parecidas, pegando a equação que encontramos no passo 1 e multiplicando por k 1 :

A k 1 - B k 1 = C k 1

E adicionamos à equação do passo 2:

2 A k 1 = C ( k 1 + k 2 )

C então será:

C = 2 A k 1 k 1 + k 2

C = 2 A 1 + k 2 / k 1

C A = 2 1 + k 2 / k 1

Passo 4

O enunciado disse que

ω k 1 = v 1 → k 1 = ω v 1

ω k 2 = v 2 → k 2 = ω v 2

A razão C/A fica:

C A = 2 1 + k 2 / k 1

C A = 2 1 + ω v 2 ω v 1

C A = 2 1 + v 1 v 2

C A = 2 v 2 v 1 + v 2

Pois os ω das duas ondas são iguais.

Achamos uma das relações!

Passo 5

E a outra relação podemos achar substituindo esse resultado na equação do passo 1:

A - B = C

Vamos isolar C da equação do passo anterior

C A = 2 v 2 v 1 + v 2 → C = A 2 v 2 v 1 + v 2

Substituindo isso em

A - B = C

A - B = 2 v 2 v 1 + v 2 A

Dividindo tudo por A, ficamos com:

1 - B A = 2 v 2 v 1 + v 2

B A = 1 - 2 v 2 v 1 + v 2

B A = v 1 + v 2 - 2 v 2 v 1 + v 2

B A = v 1 - v 2 v 1 + v 2

Essa era a segunda!

Passo 6

(b) Falta só a gente provar a terceira. Aqui vamos fazer algo diferente. Em vez de chegar na equação, vamos provar que sua igualdade é verdadeira. Como? Substituindo as expressões que a gente tem nela:

B 2 + v 1 v 2 C 2 = A 2

Vamos lembrar das expressões que a gente acabou de provar e isolar C em uma e B na outra, deixando essas letrinhas em função de A :

C A = 2 v 2 v 1 + v 2 → C = A 2 v 2 v 1 + v 2

B A = v 1 - v 2 v 1 + v 2 → B = v 1 - v 2 v 1 + v 2 A

Substituindo isso na expressão que queremos provar

B 2 + v 1 v 2 C 2 = A 2

v 1 - v 2 v 1 + v 2 2 A 2 + v 1 v 2 2 v 2 v 1 + v 2 2 A 2 = A 2

v 1 - v 2 v 1 + v 2 2 + v 1 v 2 2 v 2 v 1 + v 2 2 = 1

Agora é força e fé para fazer aparecer um 1 do lado esquerdo e assim provaremos essa igualdade.

Passo 7

Calma, tá quase acabando. A gente pode abrir os produtos notáveis do numerador

v 1 - v 2 v 1 + v 2 2 + v 1 v 2 2 v 2 v 1 + v 2 2 = 1

v 1 2 - 2 v 1 v 2 + v 2 2 v 1 + v 2 2 + v 1 v 2 4 v 2 2 v 1 + v 2 2 = 1

v 1 2 - 2 v 1 v 2 + v 2 2 v 1 + v 2 2 + 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2 = 1

Juntando a galera

v 1 2 - 2 v 1 v 2 + v 2 2 + 4 v 1 v 2 v 1 + v 2 2 = 1

v 1 2 + 2 v 1 v 2 + v 2 2 v 1 + v 2 2 = 1

Repara que no denominador apareceu um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , com a = v 1 e b = v 2 . Logo

v 1 2 + 2 v 1 v 2 + v 2 2 = v 1 + v 2 2

Substituindo isso na nossa equação

v 1 + v 2 2 v 1 + v 2 2 = 1

1 = 1

Ufaaa! Conseguimos provar que essa igualdade é verdadeira. Arrasamos! 😊

Resposta

Demonstração nos passos

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