Enunciado

As duas fontes pontuais da Fig. 35-61 emitem ondas coerentes. Mostre que são hipérboles todas as curvas (como as que aparecem na figura) para as quais a diferença de fase entre os raios r 1 e r 2 é constante. (Sugestão: Uma diferença de fase constante significa uma diferença constante entre as distâncias r 1 e r 2 .)

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse exercício é um problema bem bonitinho em que vamos usar geometria analítica para resolver! A diferença de caminho ótico é

Δ L = r 1 - r 2

Para que a diferença de fase seja constante ao longo de uma curva, a diferença de caminho ótico deve ser constante. Por motivos que ficarão claros mais adiante, escreveremos a constante como sendo 2 a :

r 1 - r 2 = 2 a

Se você souber que essa é a definição de uma hipérbole, o problema já está definido. Nos próximos passos vou partir dessa relação para chegar na equação da hipérbole do jeito que você deve conhecer!

Passo 2

Para adaptar a notação para geometria analítica, vamos escrever d = 2 c , de modo que

S 1 = - c ,   0             e           S 2 = c ,   0

Assim, sendo P = x ,   y , temos que

r 1 = d P S 1 = x + c 2 + y 2

r 2 = d P S 2 = x - c 2 + y 2

Logo,

x + c 2 + y 2 - x - c 2 + y 2 = 2 a

Supondo r 1 > r 2 , podemos tirar o módulo e escrever

x + c 2 + y 2 = 2 a + x - c 2 + y 2

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:

x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + x - c 2 + y 2 + 4 a x - c 2 + y 2

Daí, abrimos os termos:

x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 + 4 a x - c 2 + y 2

4 c x - 4 a 2 = 4 a x - c 2 + y 2

Simplificando por 4 :

c x - a 2 = a x - c 2 + y 2

Passo 3

Elevamos novamente a equação ao quadrado:

c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2

Daí,

c 2 - a 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 c 2 - a 2

Estamos quase acabando. Vamos definir b 2 = c 2 - a 2 (é isso que fazemos na dedução da equação da hipérbole), de modo que

b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2

Dividindo a equação toda por a 2 b 2 :

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Essa é a equação de uma hipérbole!

Resposta

Demonstação.

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Qual dos seguintes pares de fontes de luz sao coerentes: (a)duas velas.(tb)uma fonte puntiforme e sua imagem em um espeIho plano,(c)dois orificios uniformemente iluminados pela mesma fonte puntitorme,
Uma diferenca de fase devida a uma diferenca de caminho optico eobservada para luz visivel monocromatica.Qual diferenca de fase requer a menor(minima)diferenca de caminho optico?(a)90", (b)180°,(c)270
Verdadeiro ou falso:(a)Quando ondas interferem destrutivamente,a energia econvertida em calor.(b)Padroes de interferencia sao observados apenas se as fases relativas das ondas que se superpoem permane