Enunciado

Duas meninas estão disputando um jogo no qual tenham acertar uma pequena caixa no chão com uma bola de gude lançada por um canhao de mola montado em uma mesa. A caixa está a uma distância horizontal D = 2,20   m da borda da mesa; veja a Fig. 8-46. Lia comprime a mola 1,10   c m , mas o centro da bola de gude cai 27,0   c m antes do centro da caixa. De quanto Rosa deve comprimir a mola para acertar a caixa? Suponha que o atrito da mola e da bola com o canhao seja desprezível.

Figura 8-46 Problema 36

Passo 1

O lançamento oblíquo da bolinha pode ser estudado de 2 formas: na horizontal, temos movimento uniforme, então a função horária será x = x o + v o t . No vertical, temos movimento uniformemente variado provocado pela gravidade, com sua função horária dada por y = y o + v o t + g t 2 2 . Tomando como referencial o topo da mesa e para baixo como positivo para y, temos x o = y o = v o y = 0 . Então

x = v o x t       e         y = g t 2 2

Isolando t em y , temos

t = 2 y g

Substituindo em x

x = v o x 2 y g

Dessa equação, podemos notar que a distância em x é proporcional a velocidade inicial do movimento, e sendo x a distância percorrida pela bolinha ( x = D ), temos

D 1 v o 1 = k

Onde k representa uma constante qualquer

Supondo que o 2° lançamento atinja a distância D , temos

D 1 v o 1 = D v o 2

v o 1 v 0 2 = D 1 D

Passo 2

A energia cinética no instante do lançamento deve ser igual a energia potencial elástica no início do movimento (lei da conservação da energia). Então

K 2 = U 1

m v o 2 2 = k x m 2 2

v o 2 = x m 2 k m

v o = x m k m

Dessa forma, nota-se que a velocidade inicial do lançamento é proporcional à compressão da mola

v o x m = k

Pode-se então retirar uma relação dos 2 lançamentos em função da velocidade inicial e da variação de comprimento da mola

v o 1 x m 1 = v o 2 x m 2

v o 1 v o 2 = x m 1 x m 2

Passo 3

Combinando as equações encontradas

x m 1 x m 2 = D 1 D

x m 2 = x m 1 D D 1

Para D = 2,2   m , D 1 = 2,2 - 0,27 = 1,93   m e x m 1 = 0,011   m .

x m 2 = 0,011 2,2 1,93

x m 2 = 0,0125   m = 1,25   c m  

Resposta

x m 2 = 1,25   c m  

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