Enunciado

50. O Q efetivo para o ciclo próton-próton da Fig. 43-11 é 26,2 MeV. (a) Expresse esse valor de Q em termos de energia por quilograma de hidrogênio consumido. (b) A potência do Sol é 3,39x10^26 W. Se essa energia é produzida inteiramente através do ciclo próton-próton, a que taxa o Sol está perdendo hidrogênio? (c) A que taxa o Sol está perdendo massa? (d) Explique a diferença entre os resultados dos itens (b) e (c). (e) A massa do Sol é 2,0x10^30 kg. Se o Sol continuar perdendo massa à taxa calculada no item (c), quanto tempo levará para perder 0,10% da massa total?

Passo 1

a)

Sabemos que a reação do ciclo próton-próton

4 H 1 + 2 e - → H 4 + 2 ν + 6 γ

Libera uma energia igual a

Q p - p = 26,7   M e V

É preciso uma quatro prótons para o ciclo ocorre, vamos calcular sua massa

M H 1 = 1,00   u

Como 1   m o l = 6,02 ⋅ 10 23

M H 1 = 1,00   g 6,02 ⋅ 10 23

M H 1 = 1,66 ⋅ 10 - 24   g

Transformando para k g :

M H 1 = 1,66 ⋅ 10 - 2 7   k g

A massa necessária para ocorrer uma reação é de 4 vezes a massa do próton:

M = 4 ⋅ M H 1

M = 4 ⋅ 1,66 ⋅ 10 - 27   k g

M = 6,64 ⋅ 10 - 27   k g

Então a energia liberada por quiilograma de hidrogênio consumido vai ser igual a

Q p - p M = 26,7   M e V 6,64 ⋅ 10 - 27   k g

Q p - p M = 4,02 ⋅ 10 27   M e V / k g

Passo 2

b)

Sabemos a potência do Sol:

P = 3,9 ⋅ 10 26   W

Watt é a mesma coisa que Joule por segundo:

P = 3,9 ⋅ 10 26   J / s

Vamos transformar a taxa que encontramos na letra (a) para J / k g , dessa forma conseguimos dividir pela potência e encontrar quantos quilogramas são consumidos po segundo:

Q p - p M = 4,02 ⋅ 10 27 M e V k g ⋅ 1,60 ⋅ 10 - 13 J M e V

Q p - p M = 6 , 43 ⋅ 10 14 J k g

Ou seja, é liberado 6,43 ⋅ 10 14   J para cada quilograma de hidrogênio consumido e são liberados 3,9 ⋅ 10 26   J por segundo, então fica fácil descobrir que

d m H d t = 3,9 ⋅ 10 26   J / s 6,43 ⋅ 10 14   J / k g

d m H d t = 6,07 ⋅ 10 11   k g / s

Passo 3

c)

Nós sabemos, pela equação de Einstein, que

E = m c 2

Sabemos que a potência é igual a

P = d E d t

Então aplicando a equação de Einstein na Potência, temos:

P = d m c 2 d t

Como a velocidade da luz é constante:

P = c 2 d m d t

Então a variação de massa do Sol é igual a

d m d t = P c 2

Nós temos os dois valores:

d m d t = 3,9 ⋅ 10 26   W 3 , 0 ⋅ 10 8   m / s 2

d m d t = 4,33 ⋅ 10 9   k g / s

Passo 4

d)

A diferença entres dois resultados é simples. No primeiro caso parte da massa de hidrogênio que está sendo consumido se transforma em Hélio, que continua no sol, ou seja não entra na conta da letra (c). Por isso

d m H d t > d m d t

Passo 5

e)

O total de massa que o Sol tem que perder é de

M = 2,0 ⋅ 10 30   k g ⋅ 0,001

M = 2,0 ⋅ 10 27   k g

Então, para o Sol perder essa quantidade de massa, considerando que d m / d t é constante, ele levaria:

d m d t = M t

t = M d m / d t

t = 2,0 ⋅ 10 27   k g 4,33 ⋅ 10 9   k g / s

t = 4,62 ⋅ 10 17   s

Transformando em anos

t = 4,62 ⋅ 10 17   s ⋅ 1   m i n 60   s 1   h 60   m i n 1   d i a 24   h 1   a n o 365   d i a s

t = 1,46 ⋅ 10 10   a n o s

Resposta

a)

Q p - p M = 4,02 ⋅ 10 27   M e V / k g

b)

d m H d t = 6,07 ⋅ 10 11   k g / s

c)

d m d t = 4,33 ⋅ 10 9   k g / s

d)

A diferença entres dois resultados é simples. No primeiro caso parte da massa de hidrogênio que está sendo consumido se transforma em Hélio, que continua no sol, ou seja não entra na conta da letra (c)

e)

t = 1,46 ⋅ 10 10   a n o s

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