Enunciado

48. A energia de repouso de um próton é cerca de 938   M e V . Se sua energia cinética também vale 938   M e V , determine:

(a) sua quantidade de movimento

(b) sua rapidez

Passo 1

(a) Sabemos que a energia total de uma partícula de massa m , que se move com uma rapidez v , pode ser relacionada com a quantidade de movimento, pela seguinte fórmula:

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4

Que podemos reescrever, sabendo que a energia de repouso E 0 é igual a m c 2 , como:

E 2 = p 2 c 2 + E 0 2

E 2 - E 0 2 = p 2 c 2

p 2 = E 2 - E 0 2 c 2

p = E 2 - E 0 2 c 2

Mas vamos lembrar que a energia total E é a soma das energias de repouso E 0 e cinética K . De forma, que vamos novamente reescrever a expressão acima como:

p = ( E 0 + K ) 2 - E 0 2 c 2

p = E 0 2 +   2 E 0 K + K 2 - E 0 2 c 2

p =   2 E 0 K + K 2 c 2

Bom! O enunciado diz que a energia de repouso E 0 é igual a energia cinética K . A expressão final, então, fica assim:

p =   2 E 0 2 + E 0 2 c 2

p = 3 E 0 c

Basta, finalmente, substituir o valor K da energia cinética, igual a 938   M e V , para encontrar nosso resultado:

p = 3 ( 938   M e V ) c

p ≅ 1,62   G e V / c

Passo 2

(b) Bom! Na letra (a), obtivemos que a fórmula da quantidade de movimento p é dada por:

p = 3 E 0 c

Que sabendo que E 0 = m c 2 , podemos reescrever essa fórmula como:

p = 3 m c 2 c

p = 3 m c

Em relação à quantidade de movimento relativística p , sabemos que sua fórmula é dada por:

p = m c 1 - v 2 c 2

Mas p = 3 m c . O que nos leva à:

3 m c = m c 1 - v 2 c 2

3 1 - v 2 c 2 = 1

Elevamos os dois lados da equação acima ao quadrado:

3 1 - v 2 c 2 2 = 1 2

3 1 - v 2 c 2 = 1

3 - 3 v 2 c 2 = 1

3 v 2 c 2 = 2

3 v 2 = 2 c 2

v = 2 c 2 3

v = 2 c 2 3 3 3

v = 6 c 3

v ≅ 0,816 c

Resposta

a) p ≅ 1,62   G e V / c  

b) v ≅ 0,816 c  

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