Enunciado

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25. Seu amigo, que tem a sua idade viaja para Alfa de Centauro, a 4 anos-luz de distância, e retorna imediatamente. Ele alega que a viagem completa durou apenas 6,0 anos. Qual foi sua rapidez? Ignore acelerações da nave e de seu amigo e suponha que ele tenha viajado com a mesma rapidez durante toda a viagem.

Passo 1

Para calcular a velocidade no sistema de referência do nosso amigo, que vamos chamar de E d , consideremos cada etapa da viagem separadamente. Supomos um bastão imaginário que se estende da Terra para Alfa de Centauro e que está em repouso em relação a Terra. No quadro de E d , o comprimento do bastão e, portanto, a distância entre a Terra e Alfa de Centauro, é encurtado de acordo com a fórmula de contração de comprimento. Ao longo de três anos, no relógio de E d , Alfa de Centauro viaja na velocidade v de sua localização inicial em relação a ele.

Vamos esbocar a situação como está no nosso quadro de referência, na Terra. A distância entre a Terra e Alfa de Centauro é o comprimento inicial L 0 do bastão. A imagem abaixo representa essa situação:

Agora vamos esboçar a situação como está no quadro de referência de E d . A distancia entre a Terra e Alfa de Centauro é o comprimento L contraído do bastão, conforme foi discutido. A seguinte imagem representa esse cenário:

Agora, vamos deixar de figurinha e pensar no jeito de resolver nosso problema organizadamente!

Passo 2

Bom! Olhando novamente o enunciado, vamos dividir o problema em dois eventos que são, onde E d deixa a Terra e E d chega a Alfa de Centauro. No referencial de E d , esses dois eventos ocorrem no mesmo lugar (ao lado de E d ). Portanto, o tempo entre esses dois eventos ∆ t 0 é o tempo adequado entre eles. Nosso amigo do problema diz que o tempo para ir até Alfa de Centauro e retornar à Terra, foi de 6,0 longos anos. Ora bolas! Como dividimos o problemas em dois eventos que são E d deixa a Terra e E d chega a Alfa de Centauro, o tempo ∆ t 0 é metade desse período, portanto igual a 3,0   anos.

Agora, vamos nos concentrar no espaço! Temos que a distância L percorrida por Alfa de Centauro no quadro de E d durante os primeiros três anos é igual à velocidade multiplicada pelo tempo no referencial de E d :

L = v ∆ t 0

Passo 3

Como falado lá no P a s s o   1 , a distância entre a Terra e Alfa de Centauro no quadro de E d é o comprimento contraído do bastão imaginário, dado pela seguinte fórmula:

L = L 0 1 - v 2 c 2

Mas L = v ∆ t 0 :

v ∆ t 0 = L 0 1 - v 2 c 2

Elevam-se os dois lados da equação ao quadrado:

( v ∆ t 0 ) 2 = L 0 1 - v 2 c 2 2

v 2 ∆ t 0 2 = L 0 2 1 - v 2 c 2

v 2 ∆ t 0 2 + L 0 2 v 2 c 2 = L 0 2

v 2 ∆ t 0 2 + L 0 2 c 2 = L 0 2

v 2 ∆ t 0 2 c 2 + L 0 2 c 2 = L 0 2

v = c 2 L 0 2 ∆ t 0 2 c 2 + L 0 2

Substitui-se, então, os valores numéricos correspondentes:

v = ( c ) 2 ( 4,0   a n o s - l u z ) 2 ( c ) 2 ( 3,0   a n o s ) 2 + ( 4,0   a n o s - l u z ) 2

v = ( c ) 2 ( 4,0   a n o s - l u z ) 2 ( 3,0   a n o s - l u z ) 2 + ( 4,0   a n o s - l u z ) 2

v = 16 ( c ) 2 (   a n o s - l u z ) 2 25   ( a n o s - l u z ) 2

v = 0,64 c 2

v = 0,80   c

Resposta

A nave teve uma rapidez igual a 0,80 vezes a velocidade da luz.

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