Enunciado

Esboce um diagrama SV para o ciclo de Carnot com um gás ideal.

Passo 1

Olá! Então, ele quer que a gente faça o diagrama SV (entropia versus volume) do ciclo de Carnot.

Legal galera, vamos começar relembrando o ciclo de Carnot e suas etapas.

Durante 1 → 2 temos uma expansão isotérmica onde há absorção de calor, 2 → 3 é uma expansão adiabática, 3 → 4 é uma compressão isotérmica onde há liberação de calor e 4 → 1 é uma compressão adiabática.

Se precisamos de um diagrama SV, vamos analisar como o volume e a temperatura podem se relacionar com a entropia. Sabemos da relação:

d S = d Q T

Ela relaciona uma variação de entropia d S com uma troca de calor d Q .

As primeiras conclusões que podemos tirar dessa equação é que se de 1 → 2 o calor é adicionado ao sistema, então a entropia aumenta, assim como o volume.

De 2 → 3 é adiabático, assim não há troca de calor e   d Q = 0 → d S = 0 , ou seja, a entropia é constante, mas o volume ainda aumenta.

No processo de 3 → 4 o calor é liberado (saída de calor), então temos uma diminuição da entropia e do volume.

Para finalizar, de 4 → 1 a entropia é constante, porque não há troca de calor, mas o volume continua diminuindo.

Como o eixo vertical do gráfico é a entropia, em 4 → 1 e 2 → 3 , onde ela é constante, nosso diagrama vai ter segmentos de retas horizontais.

Passo 2

Já sabemos como as variáveis se relacionam, agora precisamos usar outros artifícios para saber como elas vão se comportar nos dois intervalos que não são adiabáticos e a entropia não é constante. A gente quer saber então como S   se relaciona com V   nos processos isotérmicos.

No caso da expansão isotérmica de 1 → 2:

d S = d Q T 1

Chamaremos de 1 essa temperatura, já que ela se mantém constante. Aí imagina que no começo do processo temos um volume V 1 e ao longo do processo temos um volume V . Para processos isotérmicos, a variação da entropia é dada por essa fórmula:  

∆ S = n R ln ⁡ V 2 V 1

Então para saber a variação de entropia em um ponto onde V 2 = V , sendo V uma quantidade qualquer de volume dentro do intervalo onde o processo ocorre, teremos:

∆ S = n R ln ⁡ V V 1

A gente pode reescrever essa variação de entropia como

∆ S = S - S 1

Sendo S 1 a entropia para V 1 , e S   a entropia para V . Substituindo na nossa expressão da variação de entropia:

S - S 1 = n R ln ⁡ V V 1

Agora se a gente isolar S   teremos uma expressão para S   em função de V :

S = n R ln ⁡ V V 1 + S 1

Passo 3

Bom, no passo 2 achamos uma relação entre S e V . Podemos pensar que essa é nossa função que descreve o gráfico SV nos intervalos onde temos processos isotérmicos.

Agora precisamos saber como essa função se comporta no gráfico. Para idealizarmos isso podemos fazer a primeira e a segunda derivada da equação anterior, porque elas fornecem a inclinação e a concavidade do caminho. Vamos relembrar como?

Se a gente tem uma função f x , se a derivada f ' x for positiva, nossa função é crescente. Quanto maior f ' x , mais rápido essa função cresce. Se a derivada for negativa, a função decresce.

E a segunda derivada? Se f ' ' x > 0 , a função é concava para cima, caso contrário, ela concava para baixo.

Então vamos derivar nossa função, assumindo que se trata de um gás ideal e que n R é constante:

S = n R ln ⁡ V V 1 + S 1

Lembrando que a nossa variável é o volume V , o resto é constante

S ' = n R V

S ' ' = - n R V ²

E o que concluímos disso tudo?

Ao longo do caminho 1 →2, a inclinação ( d S d V ) do caminho é positiva e à medida que V aumenta a inclinação diminui. Já a concavidade ( d ² S d V ² ) do caminho é negativa para todos os valores de V.

Passo 4

Podemos fazer a mesma análise para 3 → 4, que é uma compressão:

S = ∆ S + S 3 = n R ln ⁡ V V 3 + S 3

S ' = n R V

S ' ' = - n R V ²

E ao longo do caminho 3→4, a inclinação ( d S d V ) do caminho é positiva e a medida que V diminui a inclinação aumenta. Já a concavidade ( d ² S d V ² ) do caminho é negativa para todos os valores de V.

Passo 5

Agora comparando esses dois caminhos adiabáticos pelo diagrama PV

Percebe que o intervalo 1-2 está mais para a esquerda? Isso quer dizer que o volume atinge menores valores nesse intervalo do que os valores que ele atinge no intervalo 4-3. Aí olhando para as derivadas das nossas funções S V :

S ' = n R V

Vemos que S ' para o intervalo 1-2 vai ser maior do que para 3-4, porque os valores V para esse intervalo são menores. Assim, a inclinação do intervalo 1-2 vai ser maior (a função vai crescer mais rápido)

Quaseee acabamos!

Passo 6

Vamos finalizar desenhando o diagrama SV com todas as características que a gente viu para cada intervalo

Aí repara que em 1-2 e 2-3 temos de fato uma expansão (o volume aumenta seguindo o sentido da setinha) e em 3-4 e 4-1 temos uma compressão. Isso é uma dica que nosso diagrama está certinho 😊

Resposta

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