Enunciado

12.54. Suponha que a órbita da Lua em torno da Terra seja circular. A partir do período orbital de 27,3 dias, calcule a distância da Lua ao centro da Terra. Suponha que o movimento da Lua seja determinado unicamente pela força gravitacional que a Terra exerce sobre ela, e use a massa da Terra indicada no Apêndice F.

Passo 1

Opa, vamos resolver esse problema! O enunciado pede pra a gente calcular a distância entre a lua e o centro da terra! Pra isso devemos considerar que:

  • A órbita da lua em torno da terra é circular;
  • O período orbital é de 27,3 dias
  • O movimento da Lua seja determinado unicamente pela força gravitacional que a Terra exerce sobre ela
  • A massa da terra é igual a 5,97 ⋅ 10 24   k g

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Bom, se a órbita é circular, isso significa que a força gravitacional é igual a força centrípeta, ou seja

F g = F C

G M m r 2 = m v 2 r

A gente já tem uma equação para descobrir a distância, mas a gente ainda não sabe a velocidade.

Para calcular a velocidade em um movimento circular, basta a gente dividir o perímetro pelo período.

v = 2 π r T

O enunciado diz que o período é de 27,3   d , vamos passar isso para segundos para entrar no SI

1   d → 86400   s

Então

27,3   d → 2358720   s

Logo

T = 2358720   s

Agora a gente pode achar uma fórmula para a distância

G M m r 2 = m r 2 π r T 2

A gente pode cortar m r

G M r = 4 π 2 r 2 T 2

Agora a gente isola r

r 3 = G M T 2 4 π 2

Logo

r = G M T 2 4 π 2 3

Passo 3

Agora que temos a equação, é só substituir os valores

r = G M T 2 4 π 2 3

r = ( 6,6742 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,97 ⋅ 10 24 ) 2358720 2 4 π 2 3

Fazendo essa continha

r = 3,84 ⋅ 10 8   m

Resposta

r = 3,84 ⋅ 10 8   m

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