Enunciado

O escritor de ficção cientifica Robert Heinlein disse uma vez: “Se você pode ser colocado em órbita, então você está a meio caminho de qualquer lugar”. Justifique esta afirmativa comparando a energia mínima necessária para colocar um satélite em órbita baixa terrestre ( h = 400   k m ) com aquela necessária para liberá-lo completamente da gravidade terrestre. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Essa questão é uma daquelas que a gente resolve usando o princípio de conservação de energia. Daí a gente compara a energia dele em dois momentos diferentes e manipulamos as duas equações pra chegar na relação que o escritor disse! Da conservação de energia:

K f - K i + U f - U i = 0

Vamos procurar alguma relação entre K e e K o que são respectivamente a energia cinética de escape e a energia cinética do foguete em órbita.

Passo 2

Vamos considerar um foguete de massa m que está inicialmente na superfície da terra e comparar a quantidade de energia necessária para fazê-lo chegar à velocidade de escape. Vamos considerar o 0 da energia potencial no infinito, ou seja U f = K f = 0 . Ficamos com:

- K i - U i = 0

Ou

K e = - U i = G M m R

Onde:

M é a massa da Terra

m é a massa do foguete

R é o raio da Terra

Passo 3

Agora aplicando a Lei da Gravitação de Newton no foguete em órbita para encontrar K o :

G M m R 2 = m v 2 R

Multiplicando os dois lados por R 2 :

G M m 2 R = 1 2 m v 2 = K o

Que é exatamente a energia cinética que queremos!

Passo 4

Agora vamos dividir uma equação pela outra:

K o K e = G M m 2 R G M m R = 1 2 1 = 1 2

Daí isolando K e :

K e = 2 K o

Como Heinlein disse :).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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