Enunciado

O espectro rotacional do H C l contém os seguintes comprimentos de onda (entre outros): 60,4 μ m ,   69 μ m ,   80,4 μ m ,   96,4 μ m e 120,4 μ m . Use esse espectro para calcular o momento de inércia da molécula de H C l em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular à linha que une os dois núcleos.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa aqui! Vamos começar?

Vou começar calculando as energias associadas a esses comprimentos de onda. Vamos relembrar que a energia de uma transição Δ E em função do comprimento de onda é:

Δ E = h c λ

E para cada um dos comprimentos de onda temos uma energia associada:

Para 60,4 μ m :

Δ E = h c λ = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 60,4 × 10 - 6 = 3,29 × 10 - 21

Para 69 μ m :

Δ E = h c λ = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 69 × 10 - 6 = 2,87 × 10 - 21

Para 80,4 μ m :

Δ E = h c λ = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 80,4 × 10 - 6 = 2,47 × 10 - 21

Para 96,4 μ m :

Δ E = h c λ = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 96,4 × 10 - 6 = 2,06 × 10 - 21

Para 120,4 μ m :

Δ E = h c λ = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 120,4 × 10 - 6 = 1,65 × 10 - 21

Fazendo a média do espaçamento das energias encontramos o valor de 0,410 × 10 - 21 J e correspondem as transições dos níveis 8 , 7,6 , 5 e 4 com os respectivos níveis superiores!

Passo 2

Agora para a transição mais baixa, ou seja, com l = 1 → l = 0 , temos que a energia vai ser:

Δ E = l l + 1 ℏ 2 2 I - 0 = ℏ 2 I = 0,410 × 10 - 21

E daqui podemos calcular o momento de inércia:

I = ℏ 2 0,410 × 10 - 21 = 1,055 × 10 - 34 2 0,410 × 10 - 21 = 2,71 × 10 - 47 k g . m 2

Tem uma expressão deduzida nos exercícios anteriores, que nos dá uma fórmula que relaciona o momento de inércia, o comprimento de onda e o estado l que estamos:

l = 2 π I ℏ λ = 2 π . 2,71 × 10 - 47 1,055 × 10 - 34 λ = 4,843 × 10 - 4 λ

E para o primeiro comprimento de onda λ = 60,4 μ m vamos encontrar o valor de l igual a:

l = 4,843 × 10 - 4 60,4 × 10 - 6 = 8

E repetindo para os outros comprimentos de onda, vamos encontrar 7 , 6,5 e 4 como falei ali em cima na letra (a).

Beleza?

Vamos pra próxima então!

Resposta

2,71 × 10 - 47 k g . m 2

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