No estado fundamental do átomo de hidrogênio, segundo o modelo de Bohr, quais são (a) o número quântico, (b) o raio da órbita, (c) o momento angular, (d) o momento, (e) a velocidade angular, (f) a velocidade linear, (g) a força sobre o elétron, (h) a aceleração do elétron, (i) a energia cinética, (j) a energia potencial e (k) a energia total?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Se prepare que vamos fazer muitas contas nesse problema!

No estado fundamental, o número quântico é n = 1 . Isso responde o item (a)!

Para achar o raio, usamos a equação (4-16):

r = 4 π ϵ 0 n 2 ℏ 2 m e 2

Já substitui Z = 1 pois se trata do átomo de hidrogênio. É possível escrever essa relação como

r = n 2   a 0 ,               a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2

Substituindo as constantes, achamos a 0 = 5,3 ⋅ 10 - 11   m que é o raio de Bohr, correspondente ao estado fundamental. Como n = 1 :

r = 5,3 ⋅ 10 - 11   m

Passo 2

Para o momento angular, usamos a relação da equação (4-12):

L = n ℏ

Como n = 1 :

L = ℏ = 1,05 ⋅ 10 - 34   m 2   k g / s

Para o momento linear, basta lembrar que

L = r p → p = L r

Assim,

p = 1,05 ⋅ 10 - 34 5,3 ⋅ 10 - 11 = 1,98 ⋅ 10 - 24   k g   m / s

Vamos fazer o item (f) antes do (e). O momento é dado por

p = m v

Assim,

v = p m

Usando m = 9,1 ⋅ 10 - 31   k g :

v = 1,98 ⋅ 10 - 24 9,1 ⋅ 10 - 31 = 2,17 ⋅ 10 6   m / s

Agora voltamos para o item (e) e lembramos que a velocidade angular é dada por

ω = v r = 2,17 ⋅ 10 6 5,3 ⋅ 10 - 11 → ω = 4,1 ⋅ 10 16   r a d / s

Passo 3

A força sobre o elétron será a força centrípeta. Para isso, calculamos primeiro a aceleração (item (h)):

a = ω 2 r = 4,1 ⋅ 10 16 2 ⋅ 5,3 ⋅ 10 - 11

Assim,

a = 8,88 ⋅ 10 22   m / s 2

Para achar a força (item (g)), fazemos

F = m a = 9,1 ⋅ 10 - 31 ⋅ 8,88 ⋅ 10 22 → F = 8,1 ⋅ 10 - 8   N

Passo 4

A energia total do estado fundamental E = - 13,6   e V é dada por

E = K + V

Como V = - 2 K (a energia potencial é o negativo do dobro da energia cinética), temos

E = K - 2 K = - K

Assim,

K = - E = - - 13,6   e V → K = 13,6   e V

Já a energia potencial é

V = - 2 K → V = - 27,2   e V

Ufa, acabou!

Resposta

n = 1

r = 5,3 ⋅ 10 - 11   m

L = ℏ = 1,05 ⋅ 10 - 34   m 2   k g / s

p = 1,98 ⋅ 10 - 24   k g   m / s

ω = 4,1 ⋅ 10 16   r a d / s

v = 2,17 ⋅ 10 6   m / s

F = 8,1 ⋅ 10 - 8   N

a = 8,88 ⋅ 10 22   m / s 2

K = 13,6   e V

V = - 27,2   e V

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