Qual deve ser o raio, no modelo de Thomson, de um átomo de um elétron para ele irradia uma linha espectral de comprimento de onda λ = 6000 ⋅ 10 - 10   m ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

No problema 2 desse capítulo eu deduzi para você a frequência angular do movimento do elétron. Vai lá dar uma olhadinha e depois volta aqui.

Já foi? Legal! O resultado que eu deduzi no outro problema foi

ω = q 1 4 π ϵ 0 m a 3

Como ω = 2 π ν , obtemos

ν = q 2 π 1 4 π ϵ 0 m a 3

Elevando ao quadrado:

ν 2 = q 2 16 π 3 ϵ 0 m a 3 → a 3 = q 2 16 π 3 ϵ 0 m ν 2

Passo 2

Agora precisamos relacionar isso com o comprimento de onda do fóton emitido:

λ ν = c → ν = c λ

Substituindo c = 3 ⋅ 10 8   m / s e λ = 6 ⋅ 10 - 7   m , achamos

ν = 3 ⋅ 10 8 6 ⋅ 10 - 7 = 0,5 ⋅ 10 15   H z = 5 ⋅ 10 14   H z

Passo 3

Antes de substituir na expressão do passo 1, vamos escrever

a 3 = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 2 4 π 2 m ν 2 = k 0 q 2 4 π 2 m ν 2 ,               k 0 = 9 ⋅ 10 9   N m 2 / C 2

A massa do elétron é m = 9,1 ⋅ 10 - 31   k g e q = 1,6 ⋅ 10 - 19   C . Assim,

a = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 2 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 - 31 ⋅ 5 ⋅ 10 14 2 3

Fazendo as contas, achamos

a ≈ 3 ⋅ 10 - 10   m

Resultado bem razoável para o tamanho de um átomo baseado em dados experimentais!

Resposta

a ≈ 3 ⋅ 10 - 10   m

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