Um feixe de partículas α , com energia cinética 5,30   M e V e intensidade 10 4 partículas por segundo, incide segundo a normal sobre uma folha de ouro de densidade 19,3   g / c m 3 , peso atômico 197 , e espessura 1,0 ⋅ 10 - 5   c m . Um contador de partículas α de área 1,0   c m 2 é colocado a 10   c m de distância da folha. Se θ é o ângulo entre o feixe incidente e uma linha que vai do centro da folha ao centro do contador, use a seção de choque diferencial de espalhamento de Rutherford (4-9) para obter o número de contagens por hora para θ = 10 ° e θ = 45 ° . O número atômico do ouro é 79 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A fórmula de seção de choque diferencial dada pela equação (4-9) do livro é

d σ d Ω = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 2 M v 2 2 ⋅ 1 s e n 4 θ 2

Podemos escrever M v 2 = 2 K , onde K é a energia cinética das partículas α :

d σ d Ω = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 K 2 ⋅ 1 16   s e n 4 θ 2

Vamos calcular a o termo dentro dos parênteses primeiro. Para isso, consideramos z = 2 para a partícula alfa, Z = 79 para o ouro, e = 1,6 ⋅ 10 - 19   C e

e K = e 5,3 ⋅ 10 6   e V = 10 - 6 5,3   V             e           1 4 π ϵ 0 = 9 ⋅ 10 9   N m 2 / C 2

Assim,

x = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 K = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 79 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 10 - 6 5,3 = 4,2 ⋅ 10 - 14   m

Agora, temos

d σ d Ω = x 2 16 ⋅ 1 s e n 4 θ 2 ,           x = 4,2 ⋅ 10 - 14   m

Passo 2

Para achar o número N de partículas que atinge o contador, temos que considerar

d N = d σ d Ω   I   n   d Ω

Assim, podemos escrever

d N = x 2 16 ⋅ 1 s e n 4 θ 2 ⋅ I   n ⋅ d Ω

Vale lembrar que I = 10 4   p a r t i c u l a s / s é a taxa com que as partículas incidem e n = ρ t , onde ρ é a densidade de átomos de ouro por volume e t = 10 - 7   m é a espessura da folha. Assim, temos

d N = x 2 I n 16 ⋅ d Ω s e n 4 θ 2

Para achar ρ , dividimos a densidade 19,3 ⋅ 10 3   k g / m 3 do ouro pela massa molar 0,197   k g / m o l e multiplicamos pelo número de Avogadro:

ρ = 19300 k g m 3 ⋅ m o l 0,197   k g ⋅ 6,02 ⋅ 10 23   a t o m o s m o l

Assim,

ρ = 5,9 ⋅ 10 28 1 m 3 → n = ρ t = 5,9 ⋅ 10 28 m 3 ⋅ 10 - 7 m = 5,9 ⋅ 10 21   m - 2

Com isso,

x 2 n 16 = 1 16 ⋅ 4,2 ⋅ 10 - 14   m 2 ⋅ 5,9 ⋅ 10 21   m - 2 = 0,25 ⋅ 2,6 ⋅ 10 - 6

Substituindo I = 10 4   p a r t i c u l a s / s , temos

x 2 I n 16 = 0,25 ⋅ 2,6 ⋅ 10 - 6 ⋅ 10 4 p a r t i c u l a s s = 0,25 ⋅ 2,6 ⋅ 10 - 2 p a r t i c u l a s

Para converter para hora, multiplicamos por 3600 :

x 2 I n 16 = 0,25 ⋅ 2,6 ⋅ 10 - 2 p a r t i c u l a s ⋅ 3600   s 1   h = 0,25 ⋅ 93,6   p a r t i c u l a s h

Passo 3

Desta forma, temos

d N = 93,6   d Ω   1 s e n 4 θ 2   p a r t i c u l a s h

Para estimar d Ω , podemos dividir a área A = 1,0   c m 2 por r 2 , com r = 10   c m sendo a distância da folha de ouro ao contador:

d Ω = A r 2 = 1,0 100 = 10 - 2 → N ≈ d N ≈ 0,25 ⋅ 0,93   1 s e n 4 θ 2   p a r t i c u l a s h

Ou ainda,

N ≈ 0,234   1 s e n 4 θ 2   p a r t i c u l a s h

Para θ = 10 ° , temos

N 10 ° ≈ 4240   p a r t i c u l a s h

Já para θ = 45 ° :

N 45 ° ≈ 11,4   p a r t i c u l a s h

Resposta

N 10 ° ≈ 4240   p a r t i c u l a s h

N 45 ° ≈ 11,4   p a r t i c u l a s h

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