Mostre que para todas as órbitas de Bohr as razões entre o momento de dipolo magnético da órbita do elétron e o momento angular orbital têm o mesmo valor.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro precisamos escrever uma expressão para o momento de dipolo magnético da órbita do elétron. Lembre-se que quando uma corrente I percorre uma espira circular de raio r , o momento de dipolo magnético é dado por

μ = I A = I π r 2

Já a corrente é a carga por unidade de tempo. Portanto, se T é o período da órbita, podemos escrever

I = e T

Além disso, sabemos que

v = 2 π r T → 1 T = v 2 π r

Passo 2

Portanto,

I = e v 2 π r

Assim,

μ = e v 2 π r ⋅ π r 2 = e v r 2

Por outro lado, o momento angular é dado por

L = m r v

Dividindo um pelo outro:

μ L = e v r 2 ⋅ 1 m r v

Portanto,

μ L = e 2 m

Logo, a razão entre o momento de dipolo magnético e o momento angular depende apenas da massa e da carga do elétron: não depende do estado quântico do átomo!

Resposta

Demonstração.

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