Enunciado

(a) Um feixe de prótons de 5,0   e V incide em uma barreira de energia potencial de 6,0   e V de altura e 0,70   n m de largura, a uma taxa correspondente a uma corrente de 1000   A . Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira? (b) Quanto tempo será preciso esperar se o feixe contiver elétrons em vez de prótons?

Passo 1

Vamos calcular primeiro a taxa com que os prótons incidem na barreira:

i = Q Δ t = N e Δ t ⇒ n = N Δ t = i e = 1000   A 1,6 ⋅ 10 - 19   C = 6,25 ⋅ 10 21   s - 1

Seja N o total de partículas que incidem na barreira, o número de partículas transmitidas é

N T

Como queremos que o número de partículas transmitidas seja 1 , temos que

N T = 1

Por outro lado,

N = n Δ t ⇒ n   Δ t   T = 1 ⇒ Δ t = 1 n   T

Sabemos que,

T = e - 2 b L ,

onde

b = 8 π 2 m c 2 U b - E h c 2

Assim,

Δ t = e 2 b L n

Passo 2

Para o item (a), temos que m c 2 = 941   M e V :

b = 8 π 2 ⋅ 941 ⋅ 10 6   e V ⋅ 6,0 - 5,0   e V 1240   e V   n m 2

Assim,

Δ t = exp ⁡ 2 ⋅ 8 π 2 ⋅ 941 ⋅ 10 6   e V ⋅ 6,0 - 5,0   e V 1240   e V   n m 2 ⋅ 0,70   n m 6,25 ⋅ 10 21   s - 1

Fazendo as contas:

Δ t = 3,37 ⋅ 10 111   s

Passo 3

Para elétrons, temos que m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V :

Δ t = exp ⁡ 2 ⋅ 8 π 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 6,0 - 5,0   e V 1240   e V   n m 2 ⋅ 0,70   n m 6,25 ⋅ 10 21   s - 1

Assim,

Δ t = 2,1 ⋅ 10 - 19   s

Note que uma diferença de quatro ordens de magnitude nas massas cria uma diferença absurda no tempo necessário para que uma partícula sofra tunelamento!

Resposta

3,37 ⋅ 10 111   s

2,1 ⋅ 10 - 19   s

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