Enunciado

Na Fig. 28-31, um elétron acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial V 1 = 1,00 k V entra no espaço entre duas placas paralelas, separadas por uma distância d = 20,0 m m , entre as quais existe uma diferença de potencial V 2 = 100 V . A placa inferior está a um potencial menor. Despreze o efeito de borda e suponha que o vetor velocidade do elétron é perpendicular ao vetor campo elétrico na região entre as placas. Em termos dos vetores unitários, qual é o valor do campo magnético uniforme para o qual a trajetória do elétron na região entre as placas é retilínea?

Passo 1

Fala aí, pessoal!! Como vai? 😉

Temos primeiramente, um elétron que é acelerado por uma DDP de V 1 = 1,00 k V e então entra em uma região entre placas paralelas, separados por d = 20,0 m m , com um DDP de V 2 = 100 V . Através dessa informação sobre o potencial das placas, podemos definir um esquema considerando a força elétrica causada pelo campo elétrico das placas:

Uma vez que a força elétrica F e l → é dada pela multiplicação entre a carga q e o campo elétrico E → :

F e l → = q .   E →

Podemos entender o sentido da força elétrica ser contrária ao campo elétrico, pois a carga do elétron é negativa!

Como a trajetória é retilínea, as forças elétrica e magnética agindo sobre o elétron se anulam:

F = 0

Logo podemos então representar a força magnética da seguinte forma:

Sabemos que a força nesse caso é dada por:

F = q E → + v → × B → = 0

Passo 2

Vamos reescrever a equação anterior e simplificar:

q E → + v → × B → = 0

Dividindo os dois lados pelo valor da carga do elétron:

E → + v → × B ��� = 0

Como a direção da velocidade é perpendicular ao campo magnético, v → × B → = v B :

E + v B = 0

B = - E v

Passo 3

Devemos conservar a energia do elétron, ele nos diz que inicialmente o elétron é acelerado através de uma diferença de potencial, ou seja, a energia U é dada pela multiplicação entre o módulo da carga q e a diferença de potencial V 1 :

U = q . V

Nesse caso, como a carga é um elétron e a DDP é V 1 , podemos substituir a equação por:

U = e .   V 1

Enquanto depois, quando o elétron se move entre as placas, temos a energia cinética E (não confunde com campo elétrico) em função da massa do elétron m e e a velocidade do elétron v :

E = m e v 2 2

Para garantir a conservação de energia do elétron:

U = E

Igualando as equações e isolando v

e .   V 1 = m e v 2 2  

v = 2 V 1 e m e

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

E para o campo elétrico, temos que o gradiente do potencial elétrico entre as placas Δ V é igual a integral do campo elétrico através do caminho d r :

Δ V =   ∫ E   .   d r

Se integrarmos isso pelo caminho entre as duas placas d e substituirmos o gradiente do potencial elétrico pela diferença de potencial entre as duas placas V 2 , encontraremos:

E = V 2 d

Portanto podemos substituir esses valores para o campo elétrico e a velocidade do elétron:

B = - E v

B = - V 2 d 2 V 1 e m e

B = - V 2 d m e 2 V 1 e

Legal, não é? 😎

Passo 5

Agora podemos substituir os valores que já sabemos:

Massa elétron m e = 9,11 . 10 - 31   k g  

Carga do elétron e = 1,60 . 10 - 19 C

Diferença de potencial entre as placas V 2 = 100 V

Diferença de potencial que acelerou o elétron V 1 = 1 . 10 3 V

Distância entre as placas d =   20 . 10 - 3 m

B = - V 2 d m e 2 V 1 e

B = - 100 20 . 10 - 3 9,11 . 10 - 31 2 1,0 . 10 3 1,60 . 10 - 19

B = - 2,67 × 10 - 4 T

Através da regra da mão direita, sabemos que a direção do campo magnético é na direção do eixo z . Em notação de vetores unitários:

B = - ( 2,67 × 10 - 4   T )   k ^

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

B = - ( 2,67 × 10 - 4   T )   k ^

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