Enunciado

Na Fig. 32-35, um capacitor de placas circulares de raio R = 18,0   c m está ligado a uma fonte de força eletromotriz ε = ε m   s e n   ω t , onde ε m = 220   V e ω = 130   r a d / s . O valor máximo da corrente de deslocamento é i d = 7,60   μ A . Despreze o efeito de borda. (a) Qual é o valor máximo da corrente i no circuito? (b) Qual é o valor máximo de d Φ E / d t , onde Φ E é o fluxo elétrico através da região entre as placas? (c) Qual é a distância d entre as placas? (d) Determine o valor máximo do módulo de B → entre as placas a uma distância r = 11,0   c m do centro.

Passo 1

O problema fala de um capacitor ligado a um gerador de corrente alternada. No item (a) ele pergunta qual é o valor máximo i da corrente no circuito, sabendo que o valor máximo da corrente de deslocamento entre as placas do capacitor é i d = 7,60 ⋅ 10 - 6 A .

Sabemos que a corrente de deslocamento em um capacitor é igual a corrente que o alimenta pelo circuito. Assim,

i = i d

Portanto,

i = 7,60 ⋅ 10 - 6 A

Passo 2

No item (b) devemos calcular o valor máximo da taxa de variação do fluxo elétrico. Sabemos que a corrente de deslocamento é dada por

i d = ε 0 d Φ E d t ⇒ d Φ E d t = i d ε 0

Usando i d = 7,60 ⋅ 10 - 6   A , tiramos que o valor máximo da variação do fluxo é

d Φ E d t = 8,59 ⋅ 10 5   V / m s

Passo 3

Agora queremos achar a distância entre as placas. Para isso, lembre-se que

i d = ε 0 d Φ E d t = ε 0 A d E d t

Mas entre as placas do capacitor o campo é uniforme, de modo que

E = V d

Assim,

i d = ε 0 A d ⋅ d V d t

Mas como V = ε = ε m   s e n   ω t , temos que

d V d t = ω ε m cos ⁡ ω t

Assim,

i d = ε 0 A ω ε m d cos ⁡ ω t

Como temos informações sobre os valores máximos, vamos tomar cos ⁡ ω t = 1 . Assim,

d = ε 0 A ω ε m i d = ε 0 π R 2 ω ε m i d

Substituindo os valores:

d = 3,39 ⋅ 10 - 3   m

Passo 4

Queremos o campo magnético induzido pela corrente de deslocamento a uma distância r < R . Pela lei de Ampère:

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i d '

Neste caso, temos que fazer uma proporção para achar i d ' em função de i d , já que i d representa a corrente pela placa toda e i d ' apenas pelo círculo de raio r . Assim,

i d → π R 2

i d ' → π r 2

Assim,

i d ' = i d   r R 2

Portanto, da lei de Ampère:

B ⋅ 2 π r = μ 0 i d   r R 2 ⇒ B = μ 0 i d r 2 π R 2

Substituindo os dados com r = 11,0 ⋅ 10 - 2   m :

B = 5,16 ⋅ 10 - 12   T

Resposta

i = 7,60 ⋅ 10 - 6 A

d Φ E d t = 8,59 ⋅ 10 5 V m s

d = 3,39 ⋅ 10 - 3   m

B = 5,16 ⋅ 10 - 12   T

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