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Na fig 33-53 , um raio incide em uma das faces de um prisma triangular de virdro imerso no ar. O ângulo de incidência θ é esclhido de tal forma que o raio emergente faz o mesmo ângulo θ com a normal à outra face. Mostre que o índce de refração n do vidro é dado por

n = s e n 1 2 ψ + ϕ s e n ( 1 2 ϕ ) ,

ϕ é o ângulo do vértice superior do prisma e ψ é o ângulo de desvio, definido como o ângulo entre o raio emergente e o raio incidente. (Nessas condições, o ângulo de desvio ψ tem o menor valor possível, que é denominado ângulo de desvio mínimo.)

Passo 1

Vamos começar?

No ar sabemos que o índice de refração é 1 . Então queremos saber o do vidro. O ângulo de incidência é θ , e vou chamar o ângulo de refração de α . Então pela le de Snell temos:

1 . s e n θ = n s e n α

n = s e n θ s e n α

Passo 2

Agora vamos ao triâgulo:

Sabemos que a soma de β + ψ 2 + α = 90 ° , então temos que:

β = 90 - α - ψ 2

Por outro lado:

β + ψ 2 + β + ψ 2 + ϕ = 180

Então temos que α é:

90 - α - ψ 2 + ψ 2 + 90 - α - ψ 2 + ψ 2 + ϕ = 180

- 2 α + ϕ = 0

α = ϕ 2

E também do desenho temos que θ = α + ψ 2 , então:

θ = ψ 2 + ϕ 2

Passo 3

Agora juntando os ângulos e substituindo no resultado do índice de refração do passo 1 teremos:

n = s e n θ s e n α = s e n ( ψ 2 + ϕ 2 ) s e n ( ϕ 2 )

Resposta

n = s e n θ s e n α = s e n ( ψ 2 + ϕ 2 ) s e n ( ϕ 2 )

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