Enunciado

No modelo simplificado de fibra ótica discutido na Seç. 2.4 (cilindro circular de vidro), calcule o ângulo de incidência θ máximo na face de entrada (fig.) para o qual a luz será guiada dentro da fibra por reflexões totais sucessivas, em função do índice de refração n da fibra.

Passo 1

Opa! Para haver reflexão interna total,o raio deve incidir na parede interna do tubo com o Ângulo critico:

Aplicando a lei de Snellquando o raio entra no tubo

n 1 sen ⁡ θ = n sen ⁡ θ 2

sen ⁡ θ = n sen ⁡ θ 2

Então

sen ⁡ θ 2 = sen ⁡ θ n

Pela lei de Snell quando o raio reflete no interior da fibra:

n sen ⁡ θ c = n 1 sen ⁡ 90 °

n sen ⁡ θ c = 1

sen ⁡ θ c = 1 n

Beleza. Guarda aí.

Olhando para o triangulo formado dentro da fibra, temos que a soma dos Ângulos internos é 180 ° ,então

θ 2 + θ c + 90 ° = 180 °

θ 2 = 90 ° - θ c

Vimos pela lei de snell que:

sen ⁡ θ 2 = sen ⁡ θ n

Substituindo o θ 2 :

sen ⁡ 90 ° - θ c = sen ⁡ θ n

Pela regra de soma de arcos:

sen ⁡ 90 ° cos ⁡ θ c - sen ⁡ θ c cos ⁡ 90 ° = sen ⁡ θ n

cos ⁡ θ c = sen ⁡ θ n

Mas, pela relaão trigonométrica fundamental: cos ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Então

1 - sen 2 ⁡ θ c = sen ⁡ θ n

Elevando ao quadrado

1 - sen 2 ⁡ θ c = sen 2 ⁡ θ n 2

Então

sen 2 ⁡ θ = n 2 ( 1 - sen 2 ⁡ θ c )

Mas já vimos que

sen ⁡ θ c = 1 n

Então

sen 2 ⁡ θ c = 1 n 2

Assim:

sen 2 ⁡ θ = n 2 1 - sen 2 ⁡ θ c

sen 2 ⁡ θ = n 2 1 - 1 n 2

sen 2 ⁡ θ = n 2 - 1

θ = a r c s e n ( n 2 - 1 )

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Resposta

θ = a r c s e n ( n 2 - 1 )

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