Enunciado

A Figura 12-62 mostra uma prancha homogênea, de 20 cm de comprimento, sobre um cilindro de 4,00 cm de raio. A massa da prancha é 5,0 kg e a do cilindro é 8,0 kg. O coeficiente de atrito estático entre a prancha e o cilindro é zero, enquanto os coeficientes de atrito estático entre o cilindro e o piso, e entre a prancha e o piso, não são nulos. Existem valores, para estes coeficientes de atrito estático, para os quais o sistema fique em equilíbrio estático? Caso afirmativo, que valores são esses? Caso negativo, explique o porquê de sua não existência.

Passo 1

Muito bem gente, nós queremos saber se existe coeficientes de atrito entre o cilindro e o piso e a prancha e o piso capazes de permitir que o sistema fique em equilíbrio estático. Ou seja:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Legal ! Agora vamos desenhar esta situação:

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central da prancha e do cilindro, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g . p = m p r a n c h a . g

F → g . c = m c i l i n d r o . g

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força norma do chão sobre o cilindro, F → n C , a força normal do cilindro na prancha, F → c , e da prancha no cilindro ( F → c B ), para finalizar, a força normal do chão sobre a prancha ( F → n ).

Muito importante aqui é percebermos que F → c   e   F → c B são forças de ação e reação:

F → c =   F → c B

Ainda temos mais duas forças atuando, a de atrito do chão com o cilindro ( f s C ,) e da prancha com o chão ( f s ,), que são calculados por:

f s C = μ s C F → n C

f s = μ s F → n

Já definimos todas as forças, então vamos usar as condições do equilíbrio!

Passo 2

Bom, temos que começar optando por usar uma das condições do equilíbrio, neste caso eu vou usar ∑ τ → = 0 .

O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher a ponta direita da barra, vamos mostrar na figura:

Beleza ! Quando fazemos isso zeramos a força de atrito e a força normal que atuam na barra. A força peso está posição r = 20   c m 2 = 10   c m , e a força F → c , está a uma distância r = 15   c m .   Vocês devem se perguntar de onde eu tirei isso, mas se sabemos que o ângulo é 30° e o diâmetro do cilindro é 4 cm, a trigonometria nos ajuda a achar a distância, como está sendo mostrado no desenho !

Já sabemos a distância, agora vamos olhar as forças. Elas devem estar formando um ângulo de 90° com a prancha. A F → c está ok, mas se olharmos para a força peso, ela forma um ângulo de 30° com a sua composição na direção y, ou seja:

F → g . y = m g . cos ⁡ 30 °

Já temos r e as forças perpendiculares, agora só precisamos saber o sentido de rotação. Por convenção se uma determinada força for capaz de girar o corpo no sentido anti-horário seu sinal será positivo. A força peso é capaz de girar a barra no sentido horário (-), já a normal gira no sentido anti-horário (+).

Jogando toda informação na segunda condição:

0,15   m F → c - 0,10   m m g . cos ⁡ 30 ° = 0

F → c = m g cos ⁡ 30 ° . 0,10   m 0,15   m

Sabemos que:

m = 5,0   k g

g = 9,81   m / s ²

cos ⁡ 30 ° = 3 2

Então

F → c = 28,3   N

Do passo 1 sabemos:

F → c =   F → c B = 28,3   N

Bom, achamos duas forças, mas ainda não conseguimos os coeficientes! Então bora para o passo 3!

Passo 3

Já usamos, uma das condições do equilíbrio para a prancha, agora vamos usar a outra condição ainda para a prancha. Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Na direção y, temos três forças: F → n , m g e a componente y de F → c y ( F → c cos ⁡ 30 ° ), então:

∑ F y → = F → n + F → c cos ⁡ 30 ° - m g = 0

Se isolarmos F → n :

F → n = m g - F → c cos ⁡ 30 °

Substituímos os dados:

F → n = 5,0   k g 9,81 m s 2 - 28,3 N . 3 2 = 24,5   N

Legal, agora vamos para x. Teremos a força de atrito ( f s ), e a componente de F c na direção x ( F c s e n   30 ° ):

- f s + F c s e n   30 ° = 0

f s = F c s e n   30 ° = 28,3   N . 1 2 = 14,2   N

Ainda não terminou né galera, mas com isso já achamos um coeficiente de atrito. Pegando as equações lá do passo 1:

f s = μ s F → n

Substituímos o que achamos aqui:

14,2 N = μ s .   24,5   N

μ s . = 0,58

Passo 4

Achamos um coeficiente, então já acabou? Não, né?!

Precisamos do coeficiente de atrito entre o cilindro e o chão. Então vamos usar ∑ F → = 0 , para o cilindro!

Começando pelo eixo y, nós temos F → n C , a componente y do F → c b , que forma um ângulo de 30° com o eixo y ( F → c b . cos ⁡ 30 ° ) e, por último a força peso, Mg:

F → n C - F → c b . cos ⁡ 30 ° - M g = 0

Isolando F → n C :

F → n C = F → c b . cos ⁡ 30 ° + M g

Sabemos que:

F → c b = 28,3   N

M = 8,0   k g

F → n C = 28,3   N . 3 2 + 8,0   k g 9,81 m s 2 = 103   N

Na direção x, teremos a força de atrito, f → s c , e a componente x de F → c b ( F → c b s e n   30 ° )

f → s c - F → c b s e n   30 ° = 0

f → s c = F → c b s e n   30 ° = 28,3 N . 1 2 = 14,2   N

Agora sim, vamos para o último coeficiente:

f s C = μ s C F → n C

14,2   N = μ s C . 103   N

μ s C = 0,14

É isso ai, a situação é possível e já temos os coeficientes !

Resposta

μ p r a n c h a - c h ã o = 0,58

μ c i l í n d r o - c h ã o = 0,14

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