Enunciado

A Figura 16.45 mostra a flutuação de pressão P de uma onda sonora não senoidal em função de x para t = 0 . A onda se propaga no sentido + x .a) Faça o gráfico da flutuação de pressão P   em função de t para x = 0 . Mostre pelo menos dois ciclos de oscilações. b) Faça um gráfico do deslocamento y nessa onda sonora em função de x para t = 0 . No ponto x = 0 , o deslocamento para t = 0 é igual a zero. Mostre pelo menos dois comprimentos de onda da onda.c) Faça um gráfico do deslocamento y em função de t para x = 0 . Mostre pelo menos dois ciclos de oscilações. d) Descreva como o cone de um alto-falante deve se mover em função do tempo para produzir a onda sonora desse problema.

Passo 1

A fase da onda é determinada pelo valor de x - v t , portanto t aumentando é equivalente a x

diminuindo com t constante. A flutuação e o deslocamento da pressão estão relacionados pela equação:

P x , t = - B   ∂ y ( x , t ) ∂ x .

Bom, y x , t = - 1 B   ∫ p x , t d x .

Se p ( x , t ) versus x é uma linha reta, então y ( x , t ) versus x   versus x é uma parábola.

Para o ar: B = 1,42 × 10 5   P a .

Passo 2

  1. Vamos então, esboçar o gráfico:
  2. Passo 3

  3. Da equação P x , t = B k A   s e n   k x - ω t , a função que tem o dado p   ( x ,   0 ) em t   =   0 é dada graficamente na Figura a seguir:
  4. Cada seção é uma parábola, não uma parte de uma curva senoidal.

    O período é :

    λ v = 0,200 m 344   m / s = 5,81 × 10 - 4   s

    e a amplitude é igual à área sob a curva p versus x entre x   =   0 e x   =   0,0500 m dividido por B , ou 7,04 × 10 - 6   m .

    Passo 4

  5. Supondo que uma onda se mova na direção +   x , y   ( 0 ,   t ) é como mostrado a seguir:
  6. Passo 5

  7. A velocidade máxima de uma partícula ocorre quando uma partícula está se movendo através da origem e a velocidade da partícula é
  8. v y = - ∂ y ∂ x v = p v B .

    A velocidade máxima é encontrada a partir da pressão máxima e

    v y m a x = 40   P a 344 m s 1,42 × 10 5   P a = 9,69   c m / s

    A aceleração máxima é o gradiente máximo de pressão dividido pela densidade,

    a m a x = 80,0   P a / 0,100   m 1,20 × k g / m 3 = 6,67 × 10 2   m / s 2

    Passo 6

  9. O cone do alto-falante se move com o deslocamento conforme encontrado na parte (c); o cone do alto-falante alterna entre movimento para frente e para trás com magnitude constante de aceleração (mas sinal de mudança). A aceleração em função do tempo é uma onda quadrada com amplitude de 667   m / s 2 e frequência

f = v λ = 344 m s 0,200   m = 1,72   k H z .

Podemos verificar que p   ( x ,   t ) versus x tem uma forma proporcional à inclinação do gráfico de y   ( x ,   t ) versus x . O mesmo se aplica aos gráficos versus   t .

Resposta

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