Enunciado

A Figura 24.10 mostra um capacitor de placas paralelas circulares, de raio R , sem preenchimento com dielétrico. A distância entre as placas é pequena o suficiente para que os efeitos de borda do campo elétrico sejam desprezíveis. Calcule:

a) a corrente de deslocamento como função da distância r ao eixo de simetria do sistema;

b) a intensidade do campo magnético induzido na região entre as placas;

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é o exercício mais tradicional para discutirmos a corrente de deslocamento de Maxwell! Entre as placas do capacitor não há a passagem de uma corrente elétrica “física”, mas podemos associar uma corrente de deslocamento associada ao fluxo do campo elétrico.

Por uma questão de continuidade e conservação da carga, podemos imaginar uma corrente I entre as placas, “fechando” o circuito. Desta forma, podemos tomar um círculo de raio r < R entre as placas. A densidade de corrente de deslocamento j d será

j d = I A → j d = I π R 2

A corrente atravessando esse círculo de raio r será

I d r = j d   π r 2 → I d r = I r 2 R 2

Obviamente essas expressões são válidas apenas para r ≤ R .

Passo 2

Já no item (b) nós queremos calcular o campo magnético entre as placas. Para isso, vamos usar a lei de Ampere com a correção de Maxwell pela corrente de deslocamento. Na prática o que fazemos é considerar I d r como se fosse uma corrente física real e usamos a lei de Ampere:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I d r

Vemos que o campo deve “circular” em torno do círculo mencionado no passo 1, de modo que

B ⋅ 2 π r = μ 0 I r 2 R 2

Assim,

B = μ 0 I r 2 π R 2

Essa é a expressão para r < R .

Passo 3

Já para r > R , temos que

B ⋅ 2 π r = μ 0 I d R

Observe que a corrente está restrita a r ≤ R . Então mesmo com nosso círculo estando fora das placas, a corrente está restrita a região delas! Como I d R = I , temos que

B = μ 0 I 2 π r

Com isso fechamos o problema!

Resposta

j d = I π R 2               e             I d r = I r 2 R 2

B = μ 0 I r 2 π R 2 ,               r < R μ 0 I 2 π r ,               r > R

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