Enunciado

Na figura abaixo uma bola pequena, homogênea é lançada do ponto P, rola suavemente em uma superfície horizontal, sobe uma rampa e chega a um platô. Em seguida, deixa o platô horizontalmente para pousar em outra superfície mais abaixo, a uma distância horizontal d da extremidade do platô. As alturas verticais são h 1 = 5 c m   e h 2 = 1,6 c m . Com que velocidade a bola deve ser lançada do ponto P para pousar em d = 6 c m ?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Pelo princípio da conservação da energia temos que a energia cinética (rotação mais translação) no ponto P vai ser igual a energia total no platô. E no platô temos a energia cinética de rotação, a energia cinética de translação e a energia potencial. Como a bola rola sem deslizar, a relação v = ω r é válida aqui. Sendo assim temos:

E P = E p l a t ô

m v 2 2 + I ω 2 2 = m v ' 2 2 + I ω 2 2 + m g h

O momento de inércia da esfera é 2 / 5 m r 2 , assim temos:

m v 2 2 + 1 2 2 5 m R 2 v 2 R 2 = m v ' 2 2 + 1 2 2 5 m R 2 v ' 2 R 2 + m g h 1

7 10 m v 2 = 7 10 m v ' 2 + m g h 1

Guarda essa expressão!

Agora nossa missão é encontrar a velocidade v ' do platô.

Passo 2

O alcance da bola foi de d = 6 c m , e podemos relacionar o tempo de queda com o deslocamento horizontal. Sabendo que a bola apenas tinha velocidade horizontal podemos calcular a velocidade dele. Mas pra isso precisamos do tempo! Vamos olhar o movimento na vertical então.

Da cinemática sabemos que o tempo de queda de um objeto em queda livre partindo do repouso é:

h = g t 2 2

Ou seja,

t = 2 h / g

No nosso caso h = h 2 . Assim o tempo de queda foi:

t = 2.1,6.10 - 2 9,8 = 0,057 s

Agora da cinemática horizontal, podemos calcular a velocidade:

v ' = d t = 6.10 - 2 0,057 = 1,052 m / s

Agora sim vamos voltar lá pra equação do passo 1 !

Passo 3

A expressão que econtramos foi:

7 10 m v 2 = 7 10 m v ' 2 + m g h 1

Vou simplificar todas as massas e isolar v 2 :

v 2 = v ' 2 + 10 7 g h 1

Agora é só substituir os valores:

v 2 = 1,052 2 + 9,8.10.5 . 10 - 2 7

v 2 = 1,80

v = 1,34 m / s

Show!

Bora treinar mais?

Resposta

1,34 m / s

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