Lista de Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

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Aplica-se uma força de 3000N a um rolo compressor que tem a forma de um cilindro maciço uniforme de raio 0,5m e massa 1000kg, conforme a figura. O cilindro rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. A aceleração do centro de massa e coeficiente de atrito mínimo para impedir o deslizamento valem , respectivamente:

a) 3   m / s 2   e   0,1

b) 3 m / s 2   e   0,2

c) 1   m / s 2   e   0,1

d) 2   m / s 2   e   0,1  

e) 2,5   m / s 2   e   0,2

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Um cilindro rígido e homogêneo de massa M e raio R está sobre uma superfície horizontal e pode girar livremente em torno de seu eixo de simetria longitudinal, como indicado na figura. O eixo está preso a uma extremidade de um fio ideal que passa por uma polia ideal e tem em sua outra extremidade um bloco suspenso de massa m . O bloco desce verticalmente com aceleração para baixo e o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície horizontal devido ao seu atrito com ela. O momento de inércia do cilindro relativo ao eixo de simetria é I c m = M R 2 / 2 . Considere como dados M ,   R ,   m   e o módulo g da aceleração da gravidade.

a) Indique todas as forças externas que atuam sobre o bloco e sobre o cilindro.

b) Calcule o módulo da aceleração do bloco;

c) Calcule o módulo da força de atrito sobre o cilindro e indique o seu sentido.

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Um cilindro solido rola sem deslizar, com velocidade angular constante, sobre uma superfície horizontal. Dentre os diagramas abaixo, I ) , I I ) , I I I ) e I V ) , aquele que representa corretamente os vetores velocidade (indicados por setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pontos pertencentes a periferia do cilindro (seção reta), em relação a um referencial fixo na Terra é

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I V
  5. Nenhum deles

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Um cilindro maciço de massa M e raio R é acelerado por uma força de tração T , conforme mostrada na figura, aplicada através de uma corda enrolada em torno de um tambor de raio r conectado concentricamente ao centro do cilindro. Despreze a massa da corda e do tambor e assuma o movimento na horizontal. O coeficiente de atrito estático é suficiente para que o cilindro role sem deslizar. Considerando que a aceleração do cilindro é a e que o momento de inércia é I = M R 2 2 :

a ) Determine a força de atrito em função de M , a , r , R .

b ) Qual valor de r para que a aceleração do cilindro seja maior que T M .

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Um cilindro homogêneo, de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal,

deslocando-se com velocidade v o , até alcançar um plano com inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento, descendo ao longo de um comprimento d até atingir um novo plano horizontal.

a) Qual o trabalho realizado no processo pela força peso?

b) Qual a velocidade do cilindro na base do plano inclinado?

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Na figura abaixo, temos dois cilindros 1 e 2 que se movem puxados por uma força F → . Os dois cilindros são idênticos, e seus centros estão ligados por uma corda ideal. Os rolamentos são sem deslizamento. Podemos afirmar que:

a) A força de atrito sobre o cilindro 1 está no mesma direção e sentido da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e sentido oposto a esta força.

b) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido da força F → .

c) A força de atrito sobre o cilindro 1 está na mesma direção e sentido oposto ao da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e mesmo sentido desta força.

d) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido, oposto ao da força F → .

e) N.D.A.

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Um cilindro solido rola sem deslizar, com velocidade angular constante, sobre uma superfície horizontal. Dentre os diagramas abaixo, I ) , I I ) , I I I ) e I V ) , aquele que representa corretamente os vetores velocidade (indicados por setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pontos pertencentes a periferia do cilindro (seção reta), em relação a um referencial fixo na Terra é

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I V
  5. Nenhum deles

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Um disco de massa M e raio R está em repouso sobre uma superfície plana, horizontal e com atrito. Num dado instante aplica-se no seu centro O uma força F → constante, cuja direção faz um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Sabe-se que o disco rola sem deslizar sobre a superfície e que o momento de inércia do disco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro é I = 1 2 M R 2 .

Considere a resistência do ar desprezível, e que a gravidade tem módulo g conhecido.

a) Faça um diagrama representando todas as forças que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicação.

b) Determine o módulo da aceleração, a C M , do centro de massa do disco enquanto ele se desloca.

c) Determine o módulo e o sentido da força de atrito que atua sobre o disco.

d) Determine a energia cinética adquirida pelo disco no instante em que dá uma volta completa a partir do instante inicial.

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Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial v → do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial v → do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.

A relação entre a altura máxima H b que o bloco atinge e a altura máxima H e que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por

(a) H b = H e , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.

(b) H b = H e , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

(c) H b > H e , pois o bloco desliza sem atrito.

(d) H e > H b , pois a esfera rola sem deslizar.

(e) H e > H b , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

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Um cilindro rígido e homogêneo de massa M e raio R está sobre uma superfície horizontal e pode girar livremente em torno de seu eixo de simetria longitudinal, como indicado na figura. O eixo está preso a uma extremidade de um fio ideal que passa por uma polia ideal e tem em sua outra extremidade um bloco suspenso de massa m . O bloco desce verticalmente com aceleração para baixo e o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície horizontal devido ao seu atrito com ela. O momento de inércia do cilindro relativo ao eixo de simetria é I c m = M R 2 / 2 . Considere como dados M ,   R ,   m   e o módulo g da aceleração da gravidade.

a) Indique todas as forças externas que atuam sobre o bloco e sobre o cilindro.

b) Calcule o módulo da aceleração do bloco;

c) Calcule o módulo da força de atrito sobre o cilindro e indique o seu sentido.

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Um carretel de raio R externo, raio r interno ( r   = R 2 ), massa M e momento de inércia em relação ao centro de massa I   =   β . M .   R 2 é puxado ao longo de um piso horizontal rugoso por um fio que exerce uma tração T → , conforme a figura. O coeficiente β é um número adimensional e o coeficiente de atrito estático é μ e . Suponha haver rolamento sem deslizamento. Faça corretamente o que for solicitado em função dos dados fornecidos a partir das leis físicas sobre torque e rolamento.

a ) Obtenha uma expressão para o valor da aceleração do centro de massa a c m .

b ) Encontre uma expressão para o módulo da força de atrito estático F e →

c ) Agora considere que o carretel é jogado tangencialmente sobre o piso (cujo coeficiente de atrito cinético vale μ c   =   0,300 ) com velocidade inicial do centro de massa v 0   =   4,00   m / s , no sentido positivo do eixo x , e velocidade angular inicial ω 0   =   0 . Não há tração T   nesse caso. Seja M   =   2,00   k g , R   =   0,100   m e β   =   1,125 . Determine se no instante de tempo t   =   0.500   s quando v c m   =   2,50   m / s e ω   =   13,3   r a d / s o carretel parou de deslizar e iniciou o rolamento sem deslizamento.

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Uma esfera de massa M e raio R parte do repouso e rola sem deslizar sobre uma rampa que se encontra presa no solo. Essa rampa não é plana, como indica a figura, onde também está indicado que a esfera deixa a rampa no ponto B , após seu centro de massa descer uma altura desconhecida. Observa-se que o centro de massa da esfera deixa a rampa com uma velocidade horizontal de módulo V 0 e que ela atinge um solo a uma distância d da base da rampa. Desconsidere o efeito da resistência do ar com a esfera e use que o momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo CM é I = 2 5 M R 2 . Considere que a esfera não perde o contato com a rampa até atingir o ponto B .

a) Qual é a diferença de altura do centro de massa da esfera entre o instante em que ela foi abandonada e aquele em que ela perde o contato com a rampa, no ponto B ?

b) Qual é o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam sobre a esfera no deslocamento do item (a)?

c) Qual é a altura do ponto B em relação ao solo?

d) Usando os vetores unitários definidos na figura, determine o vetor velocidade do centro de massa da esfera no instante imediatamente anterior a atingir o solo.

e) Qual é a velocidade angular da esfera no instante de item (d)

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A figura a seguir mostra um objeto uniforme que rola sem deslizar sobre um plano inclinado. O objeto possui massa M , raio R e momento de inércia I 1 ao redor do eixo de rotação. Sabe-se que quando o objeto é liberado do repouso a partir de uma certa altura H , ele é lançado horizontalmente ao chegar à base do plano inclinado, tocando o solo a uma distância horizontal d 1 do ponto de lançamento.

Considere, agora, que o objeto é substituído por outro, de mesma massa M , mesmo raio R e momento de inércia I 2 ( I 2 > I 1 ) ao redor do eixo de rotação. Nesse caso, quando solto do repouso da mesma altura H , o novo objeto rola sem deslizar, e toca o solo a uma distância d 2 do ponto de lançamento.

Pode-se afirmar que:

  1. d 1 < d 2
  2. d 1 = d 2
  3. d 1 > d 2

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Um disco, um anel e uma esfera oca, todos de massa M e raio R são soltos simultaneamente a partir do repouso do topo de um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os objetos. Os objetos rolam sem deslizar plano abaixo.

Assinale falso F ou verdadeiro V às seguintes afirmações. Neste item não é necessário justificativa.

        As forças de atrito e da gravidade nos objetos apontam na mesma direção e em sentidos opostos;

        O disco chegará primeiro na base do plano inclinado por que tem o menor momento de inércia;

        O anel chegará primeiro na base do plano inclinado por que tem o maior momento de inércia;

        Como todos tem a mesma massa e mesmo raio, todos chegarão juntos na base do plano inclinado;

        Se não existisse atrito todos chegariam juntos na base do plano inclinado.

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Uma bola de boliche rola sem deslizar com velocidade v sobre uma esteira rolante que se desloca no sentido contrário com a mesma velocidade, de forma que a bola não se desloca em relação ao chão. Calcule a energia cinética da bola de boliche em relação ao chão:

  1. 1 / 5 M v 2 .
  2. 7 / 5 M v 2 .
  3. 1 / 2 M v 2 + 1 / 2 I ω 2
  4. 1 / 2 M v 2 .
  5. Zero

Dado: Momento de inércia de uma esfera maciça: I = 2 5 M R 2

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Dois objetos A e B, ambos de seção circular de mesmo raio, rolam sem deslizar ao longo de umasuperfície inclinada, acelerando a medida que descem. Se o objeto A chega antes que o objeto B na base da superfície, é possível afirmar com certeza:

  1. a massa de A é maior que a de B.
  2. a massa de A é menor que a de B
  3. o momento de inércia de A é maior que o de B.
  4. o momento de inércia de A é menor que o de B
  5. Nenhuma das anteriores.

Dado: Momento de inércia de uma esfera de massa m e raio r cujo eixo de rotação passa pelo centro de massa da esfera: I = 2 5 m r 2

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Um carretel de massa m   e raio externo R rola sem deslizar, para a esquerda, ao ser puxado por uma força F   → aplicada ao seu raio interno r como mostra a figura. Sabe-se que o momento de inércia do carretel em relação ao seu centro de massa é I C .

  1. Qual a aceleração do centro de massa do carretel?
  2. Determine o módulo da força de atrito que atua no carretel e mostre que ela aponta para a direita.
  3. Se o coeficiente de atrito entre o carretel e a superfície é μ , qual a máxima força que pode ser aplicada ao carretel para que ele continue a rolar sem deslizar.

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Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2 R está em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando pelo centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio (inextensível e de massa desprezível) passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa pelo seu centro. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio. O fio não desliza sobre a polia e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. O sistema é liberado a partir do repouso.

Expresse seus resultados em termos dos dados do problema ( M e R ) e da aceleração da gravidade g .

(a) Esboce diagramas de corpo livre (indicando as forças atuantes) do cilindro, da polia e do bloco.

(b) Calcule a aceleração do bloco.

(c) Determine o módulo do torque resultante na polia.

(d) Calcule o coeficiente de atrito estático entre o cilindro e a mesa.

Dados: polia de massa m p e raio R p , eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo centro: I p = m p R p 2 2 . Cilindro de massa m c e raio R c , eixo central I c = m c R c 2 2 .

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Um cilindro maciço de massa M e raio R é acelerado por uma força de tração T , conforme mostrada na figura, aplicada através de uma corda enrolada em torno de um tambor de raio r conectado concentricamente ao centro do cilindro. Despreze a massa da corda e do tambor e assuma o movimento na horizontal. O coeficiente de atrito estático é suficiente para que o cilindro role sem deslizar. Considerando que a aceleração do cilindro é a e que o momento de inércia é I = M R 2 2 :

a ) Determine a força de atrito em função de M , a , r , R .

b ) Qual valor de r para que a aceleração do cilindro seja maior que T M .

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Aplica-se uma força de 3000N a um rolo compressor que tem a forma de um cilindro maciço uniforme de raio 0,5m e massa 1000kg, conforme a figura. O cilindro rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. A aceleração do centro de massa e coeficiente de atrito mínimo para impedir o deslizamento valem , respectivamente:

a) 3   m / s 2   e   0,1

b) 3 m / s 2   e   0,2

c) 1   m / s 2   e   0,1

d) 2   m / s 2   e   0,1  

e) 2,5   m / s 2   e   0,2

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Uma lata vazia de altura H , raio R e massa M , com tampa, parte do repouso e rola sem escorregar por um plano inclinado de angulo θ e comprimento L . Considere conhecido que o momento de inércia de um disco de massa m e raio r em relação à um eixo perpendicular que passa pelo seu centro é m r 2 2 .

a)Qual é o momento de inércia da lata, I , em relação ao seu eixo de simetria? O resultado deve ser dado como função de H ,   R   e   M . Considere a lata como sendo um cilindro com duas tampas, com densidade superficial homogênea.

b) Calcule a força de atrito sobre a lata em termos de R ,   M   e   I ;

c) Calcule a aceleração do centro de massa e a aceleração angular da lata;

d) Calcule velocidade angular da lata ao chegar ao final da rampa;

e) Qual o trabalho realizado pela força de atrito? Justifique.

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Na figura abaixo, temos dois cilindros 1 e 2 que se movem puxados por uma força F → . Os dois cilindros são idênticos, e seus centros estão ligados por uma corda ideal. Os rolamentos são sem deslizamento. Podemos afirmar que:

a) A força de atrito sobre o cilindro 1 está no mesma direção e sentido da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e sentido oposto a esta força.

b) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido da força F → .

c) A força de atrito sobre o cilindro 1 está na mesma direção e sentido oposto ao da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e mesmo sentido desta força.

d) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido, oposto ao da força F → .

e) N.D.A.

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Um cilindro homogêneo, de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal,

deslocando-se com velocidade v o , até alcançar um plano com inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento, descendo ao longo de um comprimento d até atingir um novo plano horizontal.

a) Qual o trabalho realizado no processo pela força peso?

b) Qual a velocidade do cilindro na base do plano inclinado?

c) Qual o coeficiente de atrito mínimo μ para que o cilindro desça o plano inclinado sem deslizar?

Dê suas respostas em termos de R , M , v o , θ , d . Dado: momento de inércia do cilindro I = M R 2 2 .

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Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 30 ° em relação à horizontal. Suponha que o corpo é uma esfera sólida. Para qualquer instante de tempo durante o rolamento no plano, calcule a razão entre a energia cinética de translação e a energia cinética total ( K T r a n s / K T o t a l )

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Um disco de raio r e massa M desce sem deslizar, a partir do repouso, a rampa inclinada conforme a figura. Após chegar à base da rampa A B , ele segue na horizontal para a pista em forma de circunferência com raio R e sobe essa pista rolando sem deslizar. O ângulo entre a rampa e a horizontal é θ   =   30 ° . O raio do disco r vale r   = R 10 e o comprimento D da rampa, do ponto A ao ponto B , vale D   =   8 R , onde R é o raio da pista circular. A aceleração da gravidade local é g . A linha tracejada corresponde a uma possível trajetória do centro de massa C M do disco.

a ) Faça o diagrama de forças para o disco durante o percurso de A até B . A partir das leis sobre torque e força, obtenha uma expressão literal, em função de g , para o valor da aceleração do C M a c m do disco entre A e B . Use o sistema de coordenadas desenhado na

figura.

b ) Indique claramente o sentido da força de atrito estática F a t feita pela superfície da rampa sobre o disco. Determine uma expressão literal para F a t , em função de M e g . Resolva através da segunda lei de Newton aplicada ao centro de massa do disco.

c ) Encontre uma expressão literal para o valor da velocidade angular do disco ω B em

torno de um eixo horizontal que passe em seu C M , quando o disco chega ao ponto B , em

função de g e R . Resolva através do uso de leis físicas referentes à energia mecânica.

d ) O valor mínimo da velocidade do C M do disco para passar no ponto mais alto da

pista circular C , sem perder o contato com a pista, é v m i n c m = g . ( R - r ) = 9 10 . g . R .

Obtenha uma expressão literal para a velocidade do C M do disco no ponto C , v c m , em

função de g e R através de leis físicas sobre a energia mecânica. Compare com o valor

mínimo dado e diga se o disco passará pelo ponto C em contato com a pista ou se descolará dela antes de chegar a C .

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Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 30 ° em relação à horizontal. Suponha desconhecida a geometria do corpo. Mede-se que a aceleração do centro d emassa durante a descida é a C M = 0,3   .   g . Supondo que o momento de inércia do corpo tem a forma I C M = β . M . R 2 , calcule o valor de β .

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Considere o sistema abaixo, onde um cilindro maciço de massa 2 M e raio 2 R pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical fixo à superfície, que passa pelo seu centro de massa. Uma corda ideal e de massa desprezível está enrolada em torno do cilindro, passa por uma polia em forma de aro com massa M e raio R e está presa a um bloco de massa desconhecida. Não há atrito nos eixos da rotação da polia e do cilindro e não ocorre escorregamento da corda no cilindro ou na polia. Tampouco há atrito entre o bloco e a superfície do plano inclinado. O raio R   da polia (aro) vale 10   c m e o ângulo θ é 30 ° . Observa-se que o bloco desce com uma aceleração linear a   =   0,1   m / s 2 .

a ) Havendo o sistema partido do repouso, observa-se que a polia sofre um deslocamento angular total de 50 radianos até que o bloco chegue à base da rampa. Determine o tempo de queda do bloco, Δ t , e a velocidade angular final do cilindro maciço, ω c i l .

b ) Faça o diagrama do corpo livre para cada componente do sistema, representando claramente as forças que agem em cada um dos componentes e o sentido de seus movimentos (de translação ou rotação).

c ) Escreva as equações resultantes das Leis de Newton (rotacional e translacional) para

os três corpos.

d ) A partir das equações da letra c , determine o valor da massa do bloco, em termos

de M .

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Parte I:

Uma esfera sólida uniforme de massa m e raio r é colocada no lado de dentro de uma bacia hemisférica de raio R . Existe atrito entre a esfera e a bacia. A esfera é liberada a partir do repouso fazendo um ângulo θ com a vertical, conforme ilustra a figura, e passa a rolar sem deslizar. A aceleração da gravidade é g .

a) Expresse a conservação da energia do sistema.

b) Determine o módulo da velocidade angular ω da esfera quando ela atinge a parte inferior da bacia.

Parte II:

As setas no desenho abaixo, indicam as forças de atrito correspondentes à três posições da esfera quando ela está rolando sem deslizar no sentido horário. Assinale qual das opções é a verdadeira.

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Uma corda ideal está enrolada em torno de um disco de raio R = 2,0   m . Ela pode desenrolar-se sem deslizar. O disco está montado num eixo sem atrito que passa pelo seu centro. Um bloco de massa m = 14   kg está preso à extremidade livre da corda, conforme mostra a figura. Quando o sistema é liberado a partir do repouso observa-se que o bloco desce 10   m em 2,0   s . Responder justificando:

Qual o momento de inércia do disco?

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Uma esfera de massa 400 g e raio 4 cm é liberada, a partir do repouso, do topo de uma rampa inclinada de 25º com relação à horizontal. A rampa tem comprimento de 2.1 m. A esfera rola sem deslizar até o fim da rampa.

a) Qual é a velocidade angular da esfera no final da rampa?

b) Qual fração da energia cinética da esfera é rotacional?

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Um aro circular de 60 cm de diâmetro está rolando sem deslizar sobre uma superfície plana. O módulo da velocidade do seu centro de massa é de 20 m/s. Qual o módulo da velocidade do ponto na extremidade frontal do aro?

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Um cilindro de massa M rola sem deslizar sobre um plano horizontal rugoso com velocidade angular constante. O coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro é μ s . Seja f s o módulo da força de atrito estático entre o cilindro e a superfície, k r o t e k t r a n s , as energias cinética de rotação e translação do cilindro, respectivamente. Sabendo que o momento de inércia de um cilindro relativo ao seu eixo de simetria perpendicular às bases é ( 1 / 2 ) M R 2 , é correto afirmar que:

(a) f s = 0 e k r o t = k t r a n s / 2

(b) f s = 0 e k r o t = k t r a n s

(c) f s = 0 e k r o t = 2 k t r a n s

(d) f s = μ s M g e k r o t = k t r a n s / 2

(e) f s = μ s M g e k r o t = 2 k t r a n s

(f) f s = μ s M g e k r o t = k t r a n s

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Um disco homogêneo de massa M e raio R encontra-se em repouso sobre uma superfície plana, horizontal e com atrito. Num dado instante, ele é puxado por um fio ideal que está enrolado em sua periferia, como mostrado na figura. A força exercida pelo fio e horizontal e tem módulo F constante. Sabe-se que o disco rola para a direita, sem deslizar sobre a superfície, e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro é I = M R 2 2 .

  1. Faça um diagrama representando todas as forças que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicação;

b) Calcule o módulo da aceleração do centro de massa do disco;

  1. Determine a força de atrito que age sobre o disco (módulo, direção e sentido).

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Dois cilindros rígidos homogêneos, A e B, rolam sem deslizar sobre uma superfície horizontal, com a mesma velocidade angular constante de módulo ω. As relações entre as massas e os raios dos cilindros são m A = m B 2 e R A = 2 R B   e. O momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa M e raio R relativo ao seu eixo, que passa pelo centro de massa, é I C M = M R 2 2 . Sendo K A e V A a energia cinética total e o módulo da velocidade do centro de massa do cilindro A, e K B e V B as do cilindro B, podemos dizer que:

  1. K A = 2 K B ,   V A = 2 V B
  2. K A = K B ,   V A = 2 V B
  3. K A = K B ,   V A = V B 2
  4. K A = K B 2 .   V A = 2 V B
  5. K A = 2 K B ,   V A = V B 2

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A figura mostra uma rampa constituída por um trecho plano, inclinado de um angulo θ em relação à horizontal, que se conecta suavemente a um trecho plano horizontal. Um cilindro homogêneo de massa M e raio R é liberado a partir do repouso em um ponto A do plano inclinado e desce percorrendo a rampa passando pelos pontos B e C do trecho horizontal, rolando sem deslizar durante todo o trajeto; de A para B o centro de massa desce uma altura h . Lembrando que o momento de inércia do cilindro relativo ao seu eixo de simetria perpendicular às bases 1 2 M R 2 , calcule:

a) a aceleração do centro de massa do cilindro, enquanto ele desce o plano inclinado;

b) a força de atrito (modulo, direção e sentido) que age no cilindro enquanto ele desce o plano inclinado;

c) a velocidade do centro de massa do cilindro ao passar pelo ponto B;

d) o trabalho realizado por cada uma das forças que agem sobre o cilindro, quando seu centro de massa se desloca de uma distância d   entre os pontos B e C.

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Uma esfera rígida homogênea de raio R rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade angular ω constante e velocidade do centro de massa V → C M . A figura mostra quatro pontos na superfície da esfera contidos no plano vertical da velocidade V → C M . Considere v 1 → , v 2 → , v 3 → e v 4 → os vetores velocidade dos pontos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. A resposta correta é:

  1. v 2 → = v 4 → = w R 2
  2. v 1 → = v 2 → = v 4 → = | V → C M |
  3. v 2 → = v 4 →
  4. v 1 → + v 3 → = 2 V → C M
  5. v 2 → = v 4 → = w R

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Uma roda, que pode ser considerada como um cilindro ideal, rola sem deslizar em uma superfície horizontal, com velocidade do seu centro de massa constante. Além da força peso, somente a superfície horizontal pode exercer forças sobre a roda. Pode-se afirmar, nesse caso, que a força de atrito que a superfície exerce sobre a roda é nula

a) A afirmativa é verdadeira

b) A afirmativa é falsa

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Considere um carretel de raio externo R , massa M e momento de inércia em relação ao centro de massa I c m = M R 2 / 4 . Ele está em repouso quando uma corda enrolada no cilindro interno de raio R / 2 é puxada com uma força de tração horizontal constante T . O carretel passa a rolar sem deslizar no sentido horário (para a direita) em um plano horizontal com coeficiente de atrito estático μ E . As forças na direção horizontal, atrito e tração, agindo no carretel estão ilustradas na figura.

a) Escreva as equações de movimento que descrevem a dinâmica do carretel como translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa.

b) Use as equações do item anterior para obter o modulo da aceleração angular α em relação ao centro de massa do carretel.

c) Qual é o valor máximo da tração T m a x para o rolamento sem deslizamento.

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Uma esfera de bronze sólida de massa m e raio   r   rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado após ser solta do repouso de uma altura h . O momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro que centro é I = 2 5 m r 2 e a aceleração da gravidade é g . O plano inclinado forma um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura abaixo:

(a) Há atrito entre a esfera e o plano inclinado? Como você chegou a essa conclusão?

(b) Há conservação de energia mecânica? Justifique sua resposta levando em consideração o respondido no item (a).

(c) Utilizando considerações de energia, determine a velocidade com que a esfera atinge a base do plano inclinado.

(d) Obtenha a velocidade na base do plano inclinado já calculada no item (c) utilizando agora considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton).

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Sobre um rolamento sem deslizamento de um cilindro sobre o chão, é correto dizer que:

A. a velocidade do centro de massa é independente da velocidade angular;

B. a velocidade escalar do ponto mais alto do cilindro é menor que a velocidade do centro de massa;

C. a velocidade escalar do ponto mais alto do cilindro é maior que a velocidade do centro de massa;

D. a velocidade escalar do ponto mais alto do cilindro é igual à velocidade do centro de massa;

E. a velocidade do ponto de contato com o chão é 2 vezes a velocidade do centro de massa.

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Um disco, um anel e uma esfera maciça de mesmo raio e massa descem rolando num plano inclinado, sem deslizar. É correto afirmar que:

Dados capa da prova: I d i s c o = M R 2 2 ; I a n e l = M R 2 ; I e s f e r a = 2 M R 2 5

(A) O disco chega primeiro na base do plano inclinado;

(B) O anel chega primeiro na base do plano inclinado;

(C) A esfera chega primeiro na base do plano inclinado;

(D) Chegaram juntos na base do plano inclinado;

(E) O disco chega antes que a esfera na base do plano inclinado;

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19 . Uma roda de raio 0,5   m rola sem deslizar sobre uma pista horizontal. Partindo do repouso, a roda se move com aceleração angular constante de 6,0   r a d / s 2 . A distância percorrida pelo

centro da roda desde t = 0 até t = 3,0   s é:

a )   18   m ;

b )   4,5   m ;

c )   9   m ;

d )   13,5   m ;

e )   27   m ;

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4 . Quando a velocidade de um carro de tração traseira está aumentando sobre uma pista horizontal, o sentido da força de atrito sobre os pneus é:

a ) para a frente em todos o pneus;

b ) para trás em todos o pneus;

c ) para trás nos pneus dianteiros e para a frente nos pneus traseiros;

d ) zero;

e ) para a frente nos pneus dianteiros e para trás nos pneus traseiros;

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2 . Quando nós aplicamos o princípio da conservação da energia a um cilindro que rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado, nós excluímos o trabalho realizado pelo atrito porque:

a ) a velocidade linear do ponto de contato (relativamente ao plano inclinado) é zero;

b ) os coeficientes de atrito estático e cinético são iguais;

c ) não há atrito presente;

d ) coeficiente de atrito cinético é zero;

e ) a velocidade angular do centro de massa em torno do ponto de contato é zero;

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Uma roda possui massa m = 0,30 k g , raio R = 0,10   m e momento de inércia I C M = 0,002 k g . m 2 em relação ao eixo perpendicular à sua superfície, passando pelo seu centro de massa (CM). Sabe-se que o CM da roda coincide com o seu centro. A roda rola sem deslizar sobre um plano inclinado de um ângulo θ com a horizontal (ver figura), onde s e n θ = 0,60 e cos ⁡ θ = 0,80 . Considere g = 10   m / s 2 .

(A) Desenhe o diagrama de corpo isolado da roda, identificando cada força e o seu ponto de aplicação.

(B) Calcule a aceleração do CM da roda e a força de atrito que atua sobre ela.

(C) Calcule a velocidade do CM da roda após ela descer uma altura vertical h = 3,0   m ,

partindo do repouso.

(D) A força de atrito realiza trabalho ao longo dessa descida? Justifique sua resposta.

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Uma casca esférica de massa m   e raio r   =   5   c m é abandonada em repouso na beirada de um hemisfério de raio R   =   1,6 r , deslizando sem escorregar, como mostra a figura. Considere a aceleração gravitacional local g   =   10   m / s 2