Enunciado

A figura mostra um bastão homogêneo de 200   g com um orifício em uma das extremidades. A outra extremidade é presa a uma mola horizontal. Quando o bastão está suspenso exatamente na vertical, a mola não está esticada nem comprimida. Qual será o período de oscilação do bastão? Suponha que a posição angular do bastão em relação à vertical corresponda sempre a um ângulo pequeno.

Passo 1

Se liga! Para resolvermos esta questão precisamos primeiro esquematizar as forças que atuam sobre o bastão. Veja a figura.

Na figura, o ponto O representa o ponto de rotação. Sabendo que a força peso atua sobre o centro de massa do bastão, podemos escrever a equação do movimento do bastão. Aqui consideraremos que o torque que atua para o bastão girar no sentido horário é negativo. Portanto

τ = I α = - F e l   L   c o s θ - P L 2   s e n θ   ( 1 )

Sabendo que

P = m g   ( 2 )

F e l = k x

onde

x = L s e n θ

Então

F e l = k L s e n θ .   ( 3 )

Passo 2

O momento de inércia para um bastão na configuração descrita no problema é

I = 1 3 m L 2 .     ( 4 )

Substituindo (4), (3) e (2) na equação (1), temos

α = - 3 k m s e n θ c o s θ - 3 g 2 L s e n θ   .     ( 5 )

Como a aceleração angular é

α = d 2 θ d t 2

Podemos reescrever a equação (5), como

d 2 θ d t 2 = - 3 k m s e n θ c o s θ - 3 g 2 L s e n θ   6 .

Passo 3

Usando as relações trigonométricas, podemos escrever que

s e n θ   c o s θ = 1 2   s e n   2 θ .

Como estamos trabalhando com pequenas variações de ângulos, podemos escrever que

s e n θ ≈ θ ⇒ s e n 2 θ ≈ 2 θ

Sendo assim, podemos substituir estas relações na equação (6), obtendo

d 2 θ d t 2 = - 3 k m - 3 g 2 L θ

Passando tudo para o lado esquerdo, temos

d 2 θ d t 2 + 3 k m + 3 g 2 L θ = 0   .     ( 7 )

Passo 4

Podemos escrever a equação do oscilado simples como

d 2 θ d t 2 + ω 2 θ = 0

Repare que a equação (7) é uma típica equação de oscilador harmônico simples. Então podemos fazer a seguinte associação

ω = 3 k m + 3 g 2 L .

Passo 5

Como queremos a frequência, temos

f = ω 2 π = 1 2 π 3 k m + 3 g 2 L

Fazendo as devidas conversões e substituindo os valores, temos

f = 1 2 π 3 × 3 0,2 + 3 × 9,8 2 × 0,2 = 1,73   H z .

Resposta

f = 1,73   H z .

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