Enunciado

A figura 1 mostra detalhes de um dos dedos da alpinista figura 2. Um tendão proveniente dos músculos do antebraço está preso na falange distal. No caminho, o tensão passa por várias estruturas fibrosas chamadas polias. A polia A 2 está presa na falange proximal; a polia A 4 está presa na falange medial. Para puxar o dedo na direção da palma da mão, os músculos do antebraço puxam o tendão, mais ou menos do mesmo modo como as cordas de uma marionete são usadas para movimentar os membros do boneco. A figura 1(b) é um diagrama simplificado da falange medial, que tem um comprimento d . A força que o tendão exerce sobre o osso, F → t , está aplicada no ponto em que o tendão entra na polia A 4 , a uma distância d / 3 da extremidade da falange medial. Se as componentes das forças que agem sobre cada um dos dedos em pinça da figura 2 são F h = 13,4   N e F v = 162,4   N , qual é o módulo de F → t ? O resultado é provavelmente tolerável, mas se a alpinista ficar pendurada por apenas um dos dedos, as polias A 2 e A 4 poderão se romper, um problema que frequentemente aflige os alpinistas.

Figura 1:

Figura 2:

Passo 1

No diagrama da figura 1(b), temos quatro forças agindo em pontos diferentes do corpo. Nesse caso, precisamos considerar o equilíbrio dos torques para garantir que o corpo esteja em equilíbrio.

Como a força F → l é desconhecida, vamos colocar nosso ponto de referência sobre o ponto em que ela age, de forma que o seu torque será nulo. E ficamos apenas com os seguintes termos:

∑ τ = τ t + τ v + τ h = 0

Em cada caso, temos que usar a seguinte fórmula para o torque:

τ = F d sen ⁡ θ

Onde F é o módulo da força, d é a distância até o ponto de referência ao londo da “barra”, e θ é ângulo que a força forma com a “barra”.

Além disso, as forças que favorecem rotação no sentido anti-horário (em torno do nosso ponto de referência) terão torque positivo, e vice-versa.

Passo 2

Então, olhando para o desenho, vamos calcular os torques dessas três forças:

τ t = - F t d 3 sen ⁡ 45 °

τ v = 162,4   d sen ⁡ 10 °

τ h = 13,4   d sen ⁡ 80 °

Agora vamos substituir tudo na equação de equilíbrio:

τ t + τ v + τ h = 0

- F t d 3 sen ⁡ 45 ° + 162,4   d sen ⁡ 10 ° + 13,4   d sen ⁡ 80 ° = 0

Podemos dividir tudo por d e calcular o que for possível:

- 2 6 F t + 28,2 + 13,2 = 0

F t = 41,4 0,3257 ≅ 175,6   N

F t ≅ 1,8   .   10 2   N

Resposta

O módulo de F → t é 1,8   .   10 2   N .

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