Enunciado

O nível de água em um tubo de vidro vertical com 1,00   m de comprimento pode ser ajustado em qualquer posição dentro do tubo. Um diapasão vibrando a 686   H z é mantido acima da extremidade aberta do tubo, onde existe ar. (Essa parte superior cheia de ar se comporta como um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada.) (a) Para quantas posições diferentes do nível de água o som do diapasão produz uma ressonância na parte do tubo cheia de ar? Quais são (b) a menor altura e (c) a segunda menor altura da água no tubo para as quais ocorre ressonância?

Passo 1

Vamos chamar de h a altura da coluna de água no tubo, e de L a altura do trecho cheio de ar. Como a altura total do tubo é de 1,00   m , sempre podemos afirmar que:

h + L = 1,00   m

Mas como a questão só faz perguntas sobre a altura da água, vamos isolar essa variável:

h = 1,00 - L

Passo 2

O enunciado diz que a parte cheia de ar se comporta com um tubo em que uma extremidade está fechada, e a outra aberta.

Sabemos que, nesse tipo de tubo, a ressonância ocorre quando L satisfaz a seguinte relação:

L = n v 4 f

Onde v é a velocidade do som, f é a frequência da onda sonora e n é um número inteiro ímpar.

L = n 4   343 686 = 0,125   n

Vamos substituir isso na equação de cima:

h = 1,00 - 0,125   n

Passo 3

(a) Com esse resultado podemos responder a primeira pergunta: quantos valores diferentes para h permitem que haja ressonância.

h = 1,00 - 0,125   n

Aqui, a única restrição é que h não assuma um valor negativo, já que ele representa a altura de uma coluna de água:

n = 1         ⇒       h = 0,875   m

n = 3       ⇒           h = 0,625   m

n = 5         ⇒         h = 0,375   m

n = 7         ⇒         h = 0,125   m

n = 9       ⇒           h = - 0,125   m

Ou seja, para qualquer valor maior ou igual a 9 , teremos um resultado que não faz sentido. Portanto existem quatro posições diferentes para o nível da água que permitem que haja ressonância.

Essas posições correspondem a n = 1 ,   3 ,   5 e 7 .

Passo 4

(b) Conforme calculamos acima, a menor altura de água corresponde ao caso n = 7 .

n = 7         ⇒         h = 0,125   m

Nesse caso, a altura será de 0,125   m .

(c) E, pela mesma lógica, a segunda menor altura corresponde ao caso n = 5 :

n = 5         ⇒         h = 0,375   m

Resposta

(a) Há quatro posições possíveis para o nível de água.

(b) A menor altura de água é h = 0,125   m .

(c) A segunda menor altura de água é h = 0,375   m .

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