Enunciado

A figura mostra duas fontes pontuais F 1 e F 2 que emitem sons de comprimento de onda λ = 2,00   m . As emissões são isotrópicas e em fase; a distância entre as fontes é d = 16,0   m . Em qualquer ponto P sobre o eixo x , as ondas produzidas por F 1 e F 2 interferem. Se P está muito distante ( x ≅ ∞ ), qual é (a) a diferença de fase entre as ondas produzidas por F 1 e F 2 e (b) o tipo de interferência que as ondas produzem? Suponha que o ponto P é deslocado ao longo do eixo x em direção a F 1 . (c) A diferença de fase entre as ondas aumenta ou diminui? A que distância x da origem as ondas possuem uma diferença de fase de (d) 0,50 λ , (e) 1,00 λ e (f) 1,50 λ ?

Passo 1

(a) Então, como vai ficar a interferência quando a distância de P até as fontes tende ao infinito?

Olha, é importante entender o seguinte, como as duas são ondas sonoras, emitidas em fase com o mesmo comprimento de onda, a única coisa que pode tirá-las de fase é aquela distância d entre elas.

Acontece que quando P está muito longe das fontes, essa distância fica irrelevante (é como se você diminuísse muito o zoom na imagem, concorda que ia parecer que as duas fontes estão uma em cima da outra?).

Então beleza, nesse caso a diferença de fase é zero.

Passo 2

(b) Quando a diferença de fase é zero, a gente já sabe que a interferência é construtiva.

E é isso que vai acontecer nesse caso.

Passo 3

(c) Agora vamos imaginar que o P está se aproximando da fonte F 1 a partir “do infinito”. Como fica a interferência?

Bom, quando nos aproximamos das fontes, a distância entre elas passa a ser significativa, ou seja, passa a ser possível ver alguma diferença de fase.

Como antes (“no infinito”) ela com certeza era zero, podemos dizer que esse movimento corresponde a um aumento da diferença de fase, mesmo que haja alguns pontos próximos da origem onde a diferença vai ser zero novamente.

Passo 4

Para as próximas perguntas, vamos precisar achar uma fórmula pra calcular a diferença de fase :

ϕ = Δ L λ ( 2 π )

A distância Δ L é o mais difícil de calcular. Vamos tentar escrever ela em função de x , que é a posição do ponto P no eixo horizontal.

Pra fazer a distância d 1 entre F 1 e P até que é bem tranquilo:

d 1 = x

E pra fazer a distância d 2 entre F 2 e P , é só usar o teorema de Pitágoras:

d 2 = d 2 + x 2

Ok, agora o Δ L vai ser:

Δ L = d 2 - d 1 = d 2 + x 2 - x

E o comprimento de onda já foi dado no enunciado:

λ = 2,00   m

Então:

ϕ = Δ L λ ( 2 π ) = d 2 + x 2 - x 2,00 ( 2 π )

ϕ = d 2 + x 2 - x ( π )

Passo 5

(d) Agora vamos tomar cuidado, porque o enunciado está meio estranho.

Nesse item ele pede o valor de x que gera a diferença de fase 0,5 λ , mas estamos acostumados a falar de diferenças de fase em radianos. E a fórmula que a gente achou faz justamente isso.

Então vamos resolver esse problema: sabemos que uma diferença de fase 2 π corresponde a um comprimento de onda, então por uma regra de três simples:

λ 0,5 λ = 2 π ϕ

ϕ = π

Ok, agora é só fazer as contas:

ϕ = d 2 + x 2 - x ( π )

π = d 2 + x 2 - x ( π )

d 2 + x 2 - x = 1

d 2 + x 2 = 1 + x

Elevando tudo ao quadrado:

d 2 + x 2 = 1 + 2 x + x 2

d 2 = 1 + 2 x

Como d = 16,0 :

16 2 = 1 + 2 x

x = 256 - 1 2 = 127,5   m

Então:

x ≅ 128   m

Passo 6

(e) Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa. A regra de três vai ser:

λ 1,00 λ = 2 π ϕ

ϕ = 2 π

E então a fórmula vai ficar:

2 π = d 2 + x 2 - x ( π )

d 2 + x 2 - x = 2

d 2 + x 2 = 2 + x

Elevando tudo ao quadrado:

d 2 + x 2 = 4 + 4 x + x 2

d 2 = 4 + 4 x

x = 16 2 - 4 4 = 63   m

Então:

x = 63,0   m

Passo 7

(f) Vamos fazer o mesmo procedimento, a regra de três vai ser:

λ 1,50 λ = 2 π ϕ

ϕ = 3 π

E então:

3 π = d 2 + x 2 - x ( π )

d 2 + x 2 - x = 3

d 2 + x 2 = 9 + 6 x + x 2

d 2 = 9 + 6 x

x = 16 2 - 9 6 = 41,2   m

Resposta

(a) ϕ = 0 .

(b) Interferência construtiva.

(c) Aumenta.

(d) x = 128   m .

(e) x = 63,0   m .

(f) x = 41,2   m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A rapidez do som na água é maior do que a rapidez do som no ar. A explosão de uma mina submarina, abaixo da superfície d’água, é detectada por um helicóptero que paira acima da superfície, como mostra
Muitos anos atrás, a partida na corrida dos 100 metros era dada pelo som de uma pistola do largador, que ficava afastado alguns metros, a parte interna das pistas. (hoje, a pistola utilizada é apenas
Um dispositivo fotográfico de exposição rápida, projetado para fotografar um projétil explodindo uma bolha de sabão, é mostrado na figura 15-33. A onda de choque do projétil de ser detectada por um mi
A figura mostra um instrumento com um transmissor e um receptor de ondas, usado para medir a velocidade u de um alvo. Suponha que o alvo se move na direção do instrumento e que parte do alvo que refle
Dois alto-falantes, A e B, são alimentados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase. A frequência das ondas emitidas por cada alto-falante é 860H z . O ponto P está a 12,0m do alto-f