Enunciado

Na figura, as ondas sonoras A e B , de mesmo comprimento de onda λ , estão inicialmente em fase e se propagam para a direita, como indicam os dois raios. A onda A é refletida por quatro superfícies, mas volta a se propagar na direção e no sentido original. O mesmo acontece com a onda B , mas depois de ser refletida por apenas duas superfícies. Suponha que a distância L da figura é um múltiplo do comprimento de onda λ : L = q λ . Qual é (a) o menor e (b) o segundo menor valor de q para o qual A e B estão em oposição de fase após as reflexões?

Passo 1

Ok, queremos saber o seguinte. Se aquela distância L é algum múltiplo do comprimento de onda:

L = q λ

Qual tem que ser o valor de q , para que esse esquema aí da figura faça com que as ondas fiquem em “oposição de fase”? Em outras palavras, que elas fiquem com uma diferença de fase:

ϕ = 2 n - 1 π

Onde n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Beleza, antes de tudo vamos lembrar da fórmula que relaciona a diferença de fase ϕ com a diferença de percurso Δ d :

ϕ = Δ d λ ( 2 π )

Lembre: o Δ d representa a diferença de distância percorrida pelas ondas!

Agora vamos igualar as duas fórmulas:

Δ d λ 2 π = 2 n - 1 π

Divindo por π :

2 Δ d λ = ( 2 n - 1 )

Passo 2

Agora precisamos escrever essa diferença de percurso Δ d em função do L que está na figura.

Primeiro, qual é a distância percorrida pela onda A até seguir em linha reta?

d A = L + L + L = 3 L

E a onda B :

d B = L + L = 2 L

E então:

Δ d = 3 L - 2 L = L

Mas a questão deu uma fórmula para o L :

Δ d = q λ

E substituindo isso na equação de cima:

2 Δ d λ = ( 2 n - 1 )

2 q λ λ = 2 n - 1

q = n - 1 2

Passo 3

(a) Beleza, agora queremos saber qual o menor valor que de q que gera essa situação. Tranquilo, lembra do que falamos lá em cima?

n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Então o menor valor de q vai ser:

q = 1 - 1 2 = 1 2

Passo 4

(b) Agora é só seguir a mesma lógica pra achar o segundo menor valor:

n = 2

q = n - 1 2

q = 2 - 1 2 = 3 2

Pronto!

Resposta

(a) q = 1 / 2  

(b) q = 3 / 2

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