Enunciado

Dois alto-falantes idênticos A e B estão separados por uma distância de 2,00 m. Os alto-falantes são alimentados por um mesmo amplificador e produzem ondas sonoras com frequência igual a 784 Hz. Considere a velocidade do som no ar igual a 344 m/s. Um pequeno microfone se afasta do ponto B ao longo de uma linha perpendicular à reta que une o ponto B com o ponto A (reta BC indicada na Figura P16.65). (a) A que distâncias do ponto B haverá interferência destrutiva? (b) A que distâncias do ponto B haverá interferência construtiva? (c) Quando a frequência é suficientemente baixa, não existe nenhum ponto da reta BC com interferência destrutiva. Qual é a frequência mais baixa para que isso ocorra?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Interferência destrutiva ocorre quando a diferença das distâncias de cada alto falante for equivalente à um múltiplo semi-inteiro do comprimento da onda sonora, isso pode ser expressado da seguinte maneira:

d = n λ 2 = n v 2 f

Sabendo que a frequência dos alto falantes é 784 Hz e a velocidade do som é de 344 m/s, obtemos a relação:

d = 0,22 n

Passo 2

Como a diferença entre as distâncias pode ser dada por:

d = 4 + x 2 - x

Aplicando a relação encontrada anteriormente para a diferença entre as distâncias, obtemos:

0,22 n = 4 + x 2 - x

0,22 n + x = 4 + x 2

Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, é possível encontrar que:

0,048 n 2 + 0,439 n x + x 2 = 4 + x 2

Passo 3

Isolando o valor de x , finalmente concluímos que os valores em que ocorre a interferência destrutiva é aquele que é válida a relação:

x = 4 - 0,048 n 2 0,439 n

Para valores de n ímpares.

Passo 4

(b) Interferência construtiva ocorre quando a diferença das distâncias de cada alto falante for equivalente à um múltiplo do comprimento da onda sonora, isso pode ser expressado da seguinte maneira:

d = n λ = n v f

Sabendo que a frequência dos alto falantes é de 784 Hz e a velocidade do som é de 344 m/s, obtemos a relação:

d = 0,439 n

Passo 5

Agora, para determinar a distância de cada alto falante, precisamos utilizar o teorema de Pítagoras. Se considerarmos que a distância entre o alto falante B e o ponto à ser analisado vale x , então a distância entre o alto falante A e o ponto à ser analisado vale:

d a = 4 + x 2

Passo 6

Então a diferença entre as distâncias pode ser dada por:

d = 4 + x 2 - x

Aplicando a relação encontrada anteriormente para a diferença entre as distâncias, obtemos:

0,439 n = 4 + x 2 - x

0,439 n + x = 4 + x 2

Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, é possível encontrar que:

0,193 n 2 + 0,878 n x + x 2 = 4 + x 2

Passo 7

Isolando o valor de x , finalmente concluimos os valores em que ocorre interferência construtiva são aqueles que satisfazem a relação:

x = 4 - 0,193 n 2 0,878 n

Passo 8

(c) A equação para encontrar as localizações das interferências destrutivas, sem substituir o valor do comprimento de onda previamente é escrita da forma:

x = 4 - λ 2 4 n 2 λ n

Passo 9

Então, se estivermos no caso 4 < λ 2 4 n 2 , não temos posições no eixo positivo onde ocorre a interferência destrutiva, considerando então o menor valor possível com n   =   1 , temos que o comprimento de onda será:

λ 2 = 16

Com isso, a menor frequência possível será:

v f = 4

f = v 4

Passo 10

Considerando a velocidade do som equivalente à 344 m/s, concluindo, a menor frequência para que ocorra a interferência destrutiva será aquela em que a frequência dos alto falantes vale

f = 86   H z

Resposta

  1. x = 4 - 0,048 n 2 0,439 n
  2. x = 4 - 0,193 n 2 0,878 n
  3. f = 86   H z

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