Enunciado

A FIGURA PD13.77 mostra uma partícula de massa m a uma distância x ao longo do eixo de um anel muito fino de massa M e raio R.

a. Calcule a energia potencial gravitacional dessas duas massas.

b. Use o que você sabe sobre a relação entre força e energia potencial para determinar o módulo da força gravitacional exercida sobre m quando ela estiver na posição x.

Passo 1

Queremos determinar a energia potencial entre o anel (que é um corpo extenso) e uma partícula.

Sabemos que a energia potencial entre duas partículas, de massas m e M é dada por:

U = - G m M z

onde z é a distância entre elas e G a constante de gravitação universal.

Podemos pensar em dividir o anel em muitas partículas e então calcular a energia potencial de cada partícula. Logo após, somamos cada uma dessas contribuições de modo a obter a energia potencial total.

A letra b nos pede para obtermos a força F . Sabemos que a relação entre a energia potencial e a força é dada por:

F = - d U d x

Assim, se conhecermos U , podemos determinar F .

Passo 2

  1. Para isso, vamos pegar uma partícula de massa d M no anel. Repare que, como o anel é muito fino, todas as partículas estão a uma mesma distância z do anel.
  2. Sendo assim, temos que

    d U = - G m   d M z

    Pelo teorema de Pitágoras, temos que

    z = x 2 + R 2

    Logo,

    d U = - G m   d M x 2 + R 2

    Note que G ,   m ,   x e R são constantes. Sendo assim, podemos integrar a relação acima:

    U = ∫ - G m x 2 + R 2 d M U = - G m x 2 + R 2 ∫ d M U = - G m M x 2 + R 2

    pois ∫ d M = M .

    Passo 3

  3. Vamos agora obter a força F . Sabemos que:

F = - d U d x F = - d d x - G m M x 2 + R 2 F = G m M d d x x 2 + R 2 - 1 2 F = G m M - 1 2 ⋅ 2 x ⋅ x 2 + R 2 - 1 2 - 1 F = - G m M x 2 + R 2 3 2 x

onde usamos a regra da cadeia.

Resposta

  1. U = - G m M / x 2 + R 2 .
  2. F = - G m M x / x 2 + R 2 3 2
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