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Em filmes antigos de ficção científica, escritores tentaram iventar novas formas de lançar naves espaciais para a Lua. Em um caso hipotético, um roteirista imaginou o lançamento de uma sonda lunar a partir de um túnel profundo e liso, inclinado de 65,0 ° acima da horizontal. No fundo do túnel, estava fixa uma mola muito dura, projetada para realiza o lançamento. A extremidade mais alta da mola, quando frouxa, ficava 30,0   m abaixo da boca do túnel. O roteirista concluiu, de suas pesquisas, que, para alcançar a Lua, a sonda de 318   k g deveria ter uma rapidez de, pelo menos, 11,2   k m / s na saída do túnel. Se a mola era comprimida de 95,0   m antes do lançamento, qual deveria ser o valor mínimo de sua constante de força para que o lançamento fosse bem sucedido? Despreze o atrito no interior do túnel.

Passo 1

A compressão da mola deve armazenar energia suficiente para que, ao ser convertida em energia cinética, leve a rapidez da sonda até 11,2   k m / s na saída do túnel.

Então:

U 0 = K f o g u e t e + U g

E o termo U g aparece porque, na saída do túnel, o foguete terá certa energia potencial gravitacional além da energia cinética:

1 2 k Δ x 2 = 1 2 m v 2 + m g h

Passo 2

E se a mola ficava a 30,0   m da boca do túnel, e foi comprimida em 95,0   m antes do lançamento, então o foguete percorreu uma distância de 125   m ao longo do túnel até sair dele.

Já que o túnel faz um ângulo de 65 ° com a horizontal, a altura associada a essa distância é:

h = 125 sen ⁡ 65 ° = 113   m

Então:

1 2 k Δ x 2 = 1 2 m v 2 + m g h

k 95 2 = 318 11,2   .   10 3 2 + ( 2 ) ( 318 ) ( 9,81 ) ( 113 )

k = 318 11,2   .   10 3 2 + ( 2 ) ( 318 ) ( 9,81 ) ( 113 ) 95 2

k = 4,42   .   10 6   N / m

Resposta

Sua constante de força deve ser de, no mínimo, 4,42   .   10 6   N / m .

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