Enunciado

Um fio condutor retilíneo cilíndrico muito longo, de condutividade σ e raio a , transporta uma corrente constante, de densidade j → = σ   E → uniformemente distribuída sobre a secção transversal. Tome o eixo do cilindro como eixo z .

a) Calcule B → na superfície do fio;

b) Calcule o vetor de Poynting S → na superfície do fio;

c) Mostre que o fluxo de S → através da superfície de um trecho de comprimento l do fio é igual à energia dissipada em calor pelo efeito Joule nesse trecho, por unidade de tempo.

Passo 1

Primeiro vamos desenhar um esquema do fio:

Para calcular o campo magnético na superfície do fio, usamos a lei de Ampére:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0   I

Aqui não precisamos adicionar a corrente de deslocamento pois não existe um campo elétrico variável no tempo que não está associado a uma corrente física como no caso do capacitor. Considerando um circuito de raio ρ = a que engloba o fio, temos que

∮ B → ⋅ d l → = B ⋅ 2 π a

Por outro lado:

I = ∫ j → ⋅ d A → = j   π a 2 = σ E π a 2

Portanto,

B ⋅ 2 π a = μ 0 σ E π a 2

Com isso,

B = μ 0 σ E a 2

Usando notação vetorial, temos que, na superfície do fio,

B → = μ 0 σ E a 2   φ ^

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Queremos calcular o vetor de Poynting, dado por

S → = 1 μ 0   E → × B →

Como

B → = σ E a 2 μ 0   φ ^           e         E → = E   z ^ ,

temos que

S → = σ E 2 a 2   z ^ × φ ^

Como φ ^ × z ^ = ρ ^ :

S → = - σ E 2 a 2   ρ ^

O vetor de Poynting aponta para dentro do fio na direção radial.

Passo 3

No item (c) temos que calcular o fluxo de S → sobre a superfície do fio:

∫ S → ⋅ d A →

Como S → é radial, temos que considerar apenas a a superfície lateral:

∫ S → ⋅ d A → = - σ E 2 a 2 ∫ d A = - σ E 2 a 2 ⋅ 2 π a   l

Note que a integral de d A é a área lateral do cilindro, dada por 2 π a   l . Portanto,

∫ S → ⋅ d A → = - σ E 2 π a 2 l

Passo 4

Note que podemos escrever:

∫ S → ⋅ d A → = - σ E 2 A   l ,

onde A = π a 2 é a área da secção transversal do fio. Além disso, podemos escrever

j = σ E ⇒ E = j σ = I σ A

Assim,

∫ S → ⋅ d A → = - σ ⋅ I 2 σ 2   A 2 ⋅ A   l = - l σ A ⋅ I 2

Mas como a resistência elétrica é

R = l σ A ,

temos que

∫ S → ⋅ d A → = - R I 2

Isso significa que a potência elétrica que vem de fora, transportada pelos campos (vetor de Poynting) é dissipado dentro do fio por efeito Joule:

∫ S → ⋅ d A → + P d i s = - R I 2 + R I 2 = 0

Isso é mais um exemplo lindo de conservação da energia!

Resposta

B → = μ 0 σ E a 2   φ ^

S → = - σ E 2 a 2   ρ ^

∫ S → ⋅ d A → = - σ E 2 π a 2 l

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