Enunciado

Uma partícula de massa m   e carga - q está vinculada a morver-se sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas + Q , separadas por uma distância d . Inicialmente, a partícula está a uma distância y ≪ d do centro desse segmento. Mostre que ela executa um movimento harmônico simples em torno do centro, e calcule a frequência angular ω de oscilação.

Passo 1

Vamos resolver essa parada!

Primeiro podemos verificar as forças que agem sobre a carga - q . Veja a figura.

Se liga, como a carga do lado esquerdo é igual a do lado direito e as distâncias delas em relação a carga - q são iguais, podemos dizer que o módulo da força elétrica exercido por ambas são iguais.

F = F e = F d

Passo 2

Analisando as forças na direção x temos que

F d , x = F c o s θ ;

F e , x = F c o s θ

Fazendo o somatório das forças na direção x ,   temos

∑ F x = F d , x - F e , x = 0

De boa, né?!Agora vamos fazer a mesma coisa para as forças na direção y .

F d , y = F s e n θ ;

F e , y = F s e n θ

Fazendo as somas temos

∑ F y = - F d , y - F e , y = - 2 F s e n θ

Passo 3

O podemos calcular F através da fórmula da força elétrica

F = q Q 4 π ϵ 0 1 y 2 + d 2 4   .

Sabendo que

s e n θ = y y 2 + d 2 4 1 2

Podemos reescrever

F y =   - 2 q Q 4 π ϵ 0 y y 2 + d 2 4 3 2

Passo 4

Agora vamos relacionar a força F y com a equação do movimento, para verificar que ela executa um MHS

m d 2 y d t 2 =   - q Q 2 π ϵ 0 y y 2 + d 2 4 3 2

No enunciado foi pedido para considerarmos que y ≪ d . Sendo assim, para facilitar nossas contas, vamos trocar d 2 / 4 por a .

Agora faremos uma expansão em série em torno de y = 0 , temos

f y = y 2 + a 2

f y = f y + f ' y 0 y - y 0 + 1 2 ! f ' ' y 0 y - y 0 2

⟹ f y = a 2

Pronto, só precisamos substituir na equação

m d 2 y d t 2 =   - q Q 2 π ϵ 0 y d 2 3

d 2 y d t 2 +   q Q 2 m π ϵ 0 y d 2 3 = 0

Passo 5

Como a forma da equação no MHS é

d 2 y d t 2 + ω 2 y = 0

Comparando com a expressão que encontramos, temos

ω = 2 q Q m π ϵ 0 d 3    

Resposta

ω = 2 q Q m π ϵ 0 d 3

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